Matemáticas IIFácil2 pts

Probabilidad

Extremadura · 2019 · Julio · Opción A

Enunciado

Una persona utiliza Whatsapp un 70 % y Telegram un 30 %. El 80 % de los Whatsapp son de amigos y el 20 % de trabajo, mientras que de Telegram, el 80 % son de trabajo y 20 % de amigos.

a) (1 punto) Calcule la probabilidad de recibir un mensaje de trabajo.

b) (1 punto) Si el usuario recibe un mensaje de trabajo, calcule la probabilidad de que sea a través del Whatsapp.

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Resultado

\boxed{\;\text{a)}\ P(J) = 0{,}7\cdot 0{,}2 + 0{,}3\cdot 0{,}8 = 0{,}38\;}

\boxed{\;\text{b)}\ P(W \mid J) = \frac{0{,}14}{0{,}38} = \frac{7}{19} \approx 0{,}3684\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cada mensaje llega por una y solo una aplicación, así que «Whatsapp» y «Telegram» forman una partición, y conocemos la probabilidad de que el mensaje sea de trabajo condicionada a cada aplicación. Con un árbol (aplicación en la primera rama, tipo de mensaje en la segunda), a) es el teorema de la probabilidad total y b) el teorema de Bayes, que va «hacia atrás»: del tipo de mensaje a la aplicación.

Desarrollo

Sucesos:

W

= «el mensaje llega por Whatsapp»,

T

= «llega por Telegram»,

J

= «es de trabajo» y

\overline J

= «es de amigos». Datos:

P(W) = 0{,}7, \quad P(T) = 0{,}3, \quad P(J \mid W) = 0{,}2, \quad P(J \mid T) = 0{,}8

Aplicación	$P(\text{aplicación})$	$P(J \mid \text{aplicación})$	$P(\text{aplicación} \cap J)$
Whatsapp	$0{,}7$	$0{,}2$	$0{,}7 \cdot 0{,}2 = 0{,}14$
Telegram	$0{,}3$	$0{,}8$	$0{,}3 \cdot 0{,}8 = 0{,}24$

a) Por el teorema de la probabilidad total:

P(J) = P(W)\,P(J \mid W) + P(T)\,P(J \mid T) = 0{,}14 + 0{,}24 = 0{,}38

b) Por el teorema de Bayes:

P(W \mid J) = \frac{P(W)\,P(J \mid W)}{P(J)} = \frac{0{,}14}{0{,}38} = \frac{7}{19} \approx 0{,}3684

Aunque la mayoría de los mensajes llegan por Whatsapp, solo algo más de un tercio de los de trabajo llegan por ahí: Telegram se usa mucho menos, pero casi todo lo que llega por él es de trabajo.

Comprobación.

P(T \mid J) = \dfrac{0{,}24}{0{,}38} = \dfrac{12}{19}

\dfrac{7}{19} + \dfrac{12}{19} = 1

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Distingue $P(J \mid W) = 0{,}2$ (de los mensajes de Whatsapp, cuántos son de trabajo) de $P(W \mid J)$ (de los de trabajo, cuántos llegan por Whatsapp): es justo lo que pide b) y se calcula con Bayes, no se lee en el enunciado.

Escribe los sucesos con letras al principio: así queda claro qué probabilidad es cada dato.