Dadas las funciones f(x) = x^2 - 2 y g(x) = x. a) (0,5 puntos) Represente la región plana encerrada por f(x) y g(x). b) (1,5 puntos) Calcule el área de la región anterior.

Matemáticas IIFácil2 pts

Integrales

Extremadura · 2019 · Julio · Opción A

Enunciado

Dadas las funciones

f(x) = x^2 - 2

g(x) = x

.

a) (0,5 puntos) Represente la región plana encerrada por

f(x)

g(x)

.

b) (1,5 puntos) Calcule el área de la región anterior.

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Resultado

\boxed{\;\text{a)}\ \text{Recinto entre } y = x \text{ (arriba) y } y = x^2 - 2 \text{ (abajo), de } (-1,-1) \text{ a } (2,2)\;}

\boxed{\;\text{b)}\ \text{Área} = \int_{-1}^{2} (x - x^2 + 2)\,dx = \frac{9}{2}\ \text{u}^2\;}

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Estrategia

La región está limitada por una parábola y una recta. Los puntos de corte (igualando

f(x) = g(x)

) dan los extremos de integración, y el dibujo dice qué función va por encima en ese intervalo. El área es la integral, entre los cortes, de «la de arriba menos la de abajo», que se calcula con la regla de Barrow.

Desarrollo

a) Puntos de corte.

x^2 - 2 = x \iff x^2 - x - 2 = 0 \iff (x - 2)(x + 1) = 0 \iff x = -1 \ \text{ o } \ x = 2

Los puntos son

(-1, -1)

(2, 2)

.

Las dos gráficas.

$f(x) = x^2 - 2$ es una parábola abierta hacia arriba con vértice en $(0, -2)$ , que corta al eje $OX$ en $x = \pm\sqrt 2 \approx \pm 1{,}41$ .
$g(x) = x$ es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Entre

x = -1

x = 2

la recta va por encima de la parábola: por ejemplo, en

x = 0

g(0) = 0 > -2 = f(0)

. La región encerrada es el segmento parabólico comprendido entre la recta

y = x

(arriba) y la parábola (abajo), desde

(-1, -1)

hasta

(2, 2)

, con su punto más bajo en el vértice

(0, -2)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Como

g(x) \geq f(x)

[-1, 2]

\text{Área} = \int_{-1}^{2} \bigl[g(x) - f(x)\bigr]\,dx = \int_{-1}^{2} \left(x - x^2 + 2\right)dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + 2x\right]_{-1}^{2}

Por la regla de Barrow:

\left(\frac{4}{2} - \frac{8}{3} + 4\right) - \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - 2\right) = \frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}

\text{Área} = \frac{9}{2} = 4{,}5 \ \text{u}^2

Comprobación. Para una parábola

y = ax^2 + \ldots

y una recta que la corta en

x_1

x_2

, el área encerrada es

\dfrac{|a|\,(x_2 - x_1)^3}{6}

. Aquí

a = 1

x_2 - x_1 = 3

\dfrac{27}{6} = \dfrac{9}{2}

✓.

Consejo

Antes de integrar, comprueba qué función va por encima con un punto intermedio cualquiera ( $x = 0$ aquí). Si restas al revés te sale $-\tfrac{9}{2}$ , y un área nunca es negativa.

El dibujo de a) vale medio punto: basta con marcar el vértice, los dos puntos de corte y sombrear la región, sin tabla de valores larga.