Límites y continuidad

a) Continuidad. En $(-\infty, 0)$, $f(x) = e^{-x}$, y en $(0, +\infty)$, $f(x) = e^{x}$: exponenciales, continuas. En $x = 0$:$$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} e^{-x} = e^{0} = 1, \qquad \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} e^{x} = 1, \qquad f(0) = e^0 = 1$$Los límites laterales coinciden con el valor de la función, así que $f$ es continua en $x = 0$ y, por tanto, continua en todo $\mathbb{R}$.

Derivabilidad. Fuera de $0$, $f$ es derivable con$$f'(x) = \left\{\begin{array}{ll} -e^{-x} & \text{si } x < 0, \\ e^{x} & \text{si } x > 0. \end{array}\right.$$En $x = 0$ (donde $f$ es continua) calculamos las derivadas laterales:$$f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} \left(-e^{-x}\right) = -1, \qquad f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} e^{x} = 1$$Como $f'(0^-) = -1 \neq 1 = f'(0^+)$, $f$ no es derivable en $x = 0$ (la gráfica tiene un pico). En resumen: $f$ es continua en $\mathbb{R}$ y derivable en $\mathbb{R} \setminus \{0\}$.

(Observa que $f(x) = e^{|x|}$: la función es par.)

b) Signo de la derivada a cada lado de $0$:

• Si $x < 0$: $f'(x) = -e^{-x} < 0$, porque la exponencial es siempre positiva. $f$ es decreciente en $(-\infty, 0)$.
• Si $x > 0$: $f'(x) = e^{x} > 0$. $f$ es creciente en $(0, +\infty)$.

Como $f$ es continua en $0$, decrece a su izquierda y crece a su derecha, tiene en $x = 0$ un mínimo relativo, de valor $f(0) = 1$.

Comprobación directa. Para todo $x \neq 0$, $|x| > 0$ y $f(x) = e^{|x|} > e^0 = 1 = f(0)$: el mínimo es incluso absoluto. Que no exista $f'(0)$ no impide que haya extremo: los extremos se buscan donde $f' = 0$ y donde $f$ no es derivable.