Rectas y planos

Puntos y vectores directores. En $r$ tomamos $y = t$: $x = 1 + t$, $y = t$, $z = 1$, es decir,$$r: \ (x, y, z) = (1, 0, 1) + t\,(1, 1, 0), \qquad s: \ (x, y, z) = (1, 0, 0) + \lambda\,(1, 0, 1)$$Punto y vector de cada una: $P_r(1, 0, 1)$, $\vec u = (1, 1, 0)$; $P_s(1, 0, 0)$, $\vec v = (1, 0, 1)$.

a) Los vectores $\vec u = (1, 1, 0)$ y $\vec v = (1, 0, 1)$ no son proporcionales (la segunda coordenada de $\vec v$ es $0$ y la de $\vec u$ no), así que las rectas no son paralelas ni coincidentes: o se cortan o se cruzan.

Con $\overrightarrow{P_rP_s} = (0, 0, -1)$ calculamos el producto mixto:$$\bigl[\overrightarrow{P_rP_s}, \vec u, \vec v\bigr] = \begin{vmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = -1\cdot(0 - 1) = 1 \neq 0$$Los tres vectores no son coplanarios, luego las rectas no están en un mismo plano: se cruzan.

Lo mismo se ve igualando las paramétricas:$$\left\{\begin{array}{l} 1 + t = 1 + \lambda \\ t = 0 \\ 1 = \lambda \end{array}\right.$$De la segunda, $t = 0$; de la tercera, $\lambda = 1$; y la primera queda $1 = 2$, imposible. No hay punto común y no son paralelas: se cruzan.

b) Tomamos como vectores directores los que dan las propias ecuaciones:$$\vec u = (1, 1, 0) \ \text{ de } r, \qquad \vec v = (1, 0, 1) \ \text{ de } s$$Colocados con el mismo origen, determinan un triángulo cuya área es la mitad del módulo del producto vectorial:$$\vec u \times \vec v = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (1 - 0)\,\vec i - (1 - 0)\,\vec j + (0 - 1)\,\vec k = (1, -1, -1)$$$$\text{Área} = \frac{1}{2}\,|\vec u \times \vec v| = \frac{1}{2}\sqrt{1 + 1 + 1} = \frac{\sqrt 3}{2} \approx 0{,}866 \ \text{u}^2$$Comprobación. Los lados del triángulo son $|\vec u| = \sqrt 2$, $|\vec v| = \sqrt 2$ y $|\vec u - \vec v| = |(0, 1, -1)| = \sqrt 2$: es equilátero de lado $\sqrt 2$, y su área es $\dfrac{\sqrt 3}{4}\,(\sqrt 2)^2 = \dfrac{\sqrt 3}{2}$ ✓.

Observa que el área depende de los vectores elegidos (con $2\vec u$ en vez de $\vec u$ saldría el doble); el enunciado se entiende con los vectores directores que dan directamente las ecuaciones.