Dadas las siguientes matrices A e I, pruebe que la inversa de A es A^{-1} = A^2 - 3A + 3I. A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Matemáticas IIFácil2 pts

Matrices

Extremadura · 2019 · Julio · Opción A

Enunciado

Dadas las siguientes matrices

A

I

, pruebe que la inversa de

A

A^{-1} = A^2 - 3A + 3I

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

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Resultado

\boxed{\;A^2 - 3A + 3I = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\ \text{ y }\ A\,(A^2 - 3A + 3I) = (A^2 - 3A + 3I)\,A = I\;}

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Estrategia

Que una matriz

B

sea la inversa de

A

significa, por definición, que

A\cdot B = B \cdot A = I

. No hace falta calcular la inversa por adjuntos: basta con construir

B = A^2 - 3A + 3I

y multiplicarla por

A

. Como el producto de matrices no es conmutativo, lo correcto es comprobar los dos órdenes (aunque aquí

B

es un polinomio en

A

y conmuta con ella).

Desarrollo

Cálculo de $A^2$ .

A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

(por ejemplo, el elemento

(1,3)

1\cdot(-1) + 1\cdot 1 + (-1)\cdot 1 = -1

).

Cálculo de $B = A^2 - 3A + 3I$ .

B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 3 & -3 \\ 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Producto $A\cdot B$ .

A\cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 + 1 & 2 - 1 - 1 \\ 0 & 1 & -1 + 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I

Producto $B\cdot A$ .

B\cdot A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 - 1 & -1 - 1 + 2 \\ 0 & 1 & 1 - 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I

Como

A\cdot B = B\cdot A = I

, la matriz

B = A^2 - 3A + 3I

es la inversa de

A

A^{-1} = A^2 - 3A + 3I = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Otra forma (sin calcular $B$ entera). Multiplicando,

A(A^2 - 3A + 3I) = A^3 - 3A^2 + 3A

, y la igualdad que hay que probar equivale a

A^3 - 3A^2 + 3A - I = O

, es decir,

(A - I)^3 = O

(se puede desarrollar el cubo porque

A

I

conmutan). Y en efecto:

A - I = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad (A - I)^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad (A - I)^3 = O

Comprobación.

|A| = 1\cdot 1\cdot 1 = 1 \neq 0

(es triangular), así que

A

tiene inversa, y la inversa también tiene determinante

1

|B| = 1\cdot 1\cdot 1 = 1

✓.

Consejo

Para «probar que $B$ es la inversa de $A$ » no calcules $A^{-1}$ por adjuntos: basta con ver que $A\cdot B = I$ . Es más rápido y es justo lo que pide la definición.

Cuidado al sumar $3I$ : solo cambia la diagonal. Un error frecuente es sumar $3$ a todos los elementos, como si $I$ fuera la matriz de unos.