Matemáticas IIFácil2 pts

Probabilidad

Castilla y León · 2019 · Junio · Opción B

Enunciado

En una competición de tiro olímpico hay 10 rifles, 4 con visor telescópico y 6 sin él. La probabilidad de que un tirador haga blanco con un rifle con visor telescópico es

0{,}95

y sin él es de

0{,}65

.

a) (1 punto) Halla la probabilidad de hacer blanco escogiendo un rifle al azar.

b) (1 punto) Si el tirador hace blanco. ¿Es más probable que haya disparado con un rifle con visor telescópico o sin él?

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Resultado

\boxed{\text{a)}\ P(B) = 0{,}77}

\boxed{\text{b)}\ P(T \mid B) = \frac{38}{77} \approx 0{,}4935 < P(\overline{T} \mid B) = \frac{39}{77} \approx 0{,}5065:\ \text{es más probable sin visor}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El experimento tiene dos etapas: primero se escoge un rifle (con visor o sin él) y después se dispara. Un diagrama de árbol recoge las probabilidades. En a) la probabilidad de hacer blanco se obtiene con el teorema de la probabilidad total, sumando las dos ramas que acaban en blanco. En b) se conoce el resultado (blanco) y se pregunta por la causa: es el teorema de Bayes, y basta con comparar las dos probabilidades condicionadas.

Desarrollo

Definimos los sucesos:

$T$ = «el rifle escogido tiene visor telescópico», $\overline{T}$ = «no lo tiene».
$B$ = «el tirador hace blanco».

Al escoger un rifle al azar entre los 10:

P(T) = \frac{4}{10} = 0{,}4, \qquad P(\overline{T}) = \frac{6}{10} = 0{,}6

y el enunciado da

P(B \mid T) = 0{,}95

P(B \mid \overline{T}) = 0{,}65

.

a) Por el teorema de la probabilidad total (

T

\overline{T}

forman un sistema completo de sucesos):

P(B) = P(T)\,P(B \mid T) + P(\overline{T})\,P(B \mid \overline{T}) = 0{,}4 \cdot 0{,}95 + 0{,}6 \cdot 0{,}65 = 0{,}38 + 0{,}39 = 0{,}77

b) Por el teorema de Bayes:

P(T \mid B) = \frac{P(T)\,P(B \mid T)}{P(B)} = \frac{0{,}38}{0{,}77} = \frac{38}{77} \approx 0{,}4935

P(\overline{T} \mid B) = \frac{P(\overline{T})\,P(B \mid \overline{T})}{P(B)} = \frac{0{,}39}{0{,}77} = \frac{39}{77} \approx 0{,}5065

(Comprobación:

\frac{38}{77} + \frac{39}{77} = 1

✓.)

Como

P(\overline{T} \mid B) > P(T \mid B)

, sabiendo que ha hecho blanco es más probable que haya disparado con un rifle sin visor telescópico, aunque por muy poco. Se debe a que hay más rifles sin visor: compensan su menor precisión.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No confundas $P(B \mid T) = 0{,}95$ (dato: si tiene visor, acierta) con $P(T \mid B)$ (lo que se pide en b: si ha acertado, ¿tenía visor?). Para invertir la condición está Bayes.

Cuando te pregunten «¿qué es más probable?», calcula las dos probabilidades y compáralas explícitamente; como comparten denominador, basta con comparar $0{,}38$ y $0{,}39$ .