a) (1 punto) Sea f(x) = \dfrac{2x+3}{x^2+3x+1}. Hallar el área del recinto limitado por la gráfica de f(x), el eje OX y las rectas x = 0 y x = 2. b) (1 punto) Calcular \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{x\,\operatorname{sen}(x)}{3\cos(x) - 3}.

Matemáticas IIFácil2 pts

Integrales

También trata: Límites y continuidad

Castilla y León · 2019 · Junio · Opción B

Enunciado

a) (1 punto) Sea

f(x) = \dfrac{2x+3}{x^2+3x+1}

. Hallar el área del recinto limitado por la gráfica de

f(x)

, el eje

OX

y las rectas

x = 0

x = 2

.

b) (1 punto) Calcular

\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{x\,\operatorname{sen}(x)}{3\cos(x) - 3}

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Resultado

\boxed{\text{a)}\ \text{Área} = \ln 11 \approx 2{,}3979 \ \text{u}^2}

\boxed{\text{b)}\ \lim_{x \to 0} \frac{x\,\operatorname{sen} x}{3\cos x - 3} = -\frac{2}{3}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) primero vemos el signo de

f

[0, 2]

para saber si el recinto queda por encima o por debajo del eje. Después observamos que el numerador

2x + 3

es exactamente la derivada del denominador

x^2 + 3x + 1

: la integral es inmediata de tipo logaritmo,

\int \frac{g'}{g}\,dx = \ln|g|

, y la acabamos con la regla de Barrow.

En b), al sustituir

x = 0

sale

\frac{0}{0}

: aplicamos la regla de L'Hôpital las veces que haga falta.

Desarrollo

a) En

[0, 2]

el numerador cumple

2x + 3 \ge 3 > 0

y el denominador

x^2 + 3x + 1 \ge 1 > 0

(suma de términos no negativos más

1

). Así que

f

es continua y positiva en

[0, 2]

: el recinto está por encima del eje

OX

y su área es la integral de

f

, sin partirla.

Como

(x^2 + 3x + 1)' = 2x + 3

, la integral es inmediata:

\int \frac{2x + 3}{x^2 + 3x + 1}\,dx = \ln\left|x^2 + 3x + 1\right| + C

Por la regla de Barrow:

\text{Área} = \int_0^2 \frac{2x + 3}{x^2 + 3x + 1}\,dx = \Bigl[\ln\left(x^2 + 3x + 1\right)\Bigr]_0^2 = \ln(4 + 6 + 1) - \ln 1 = \ln 11 \approx 2{,}3979 \ \text{u}^2

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) En

x = 0

0 \cdot \operatorname{sen} 0 = 0

3\cos 0 - 3 = 0

, indeterminación

\frac{0}{0}

. Aplicamos L'Hôpital (regla del producto en el numerador):

\lim_{x \to 0} \frac{x\,\operatorname{sen} x}{3\cos x - 3} = \lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen} x + x\cos x}{-3\operatorname{sen} x}

Sigue siendo

\frac{0}{0}

. Aplicamos L'Hôpital otra vez:

= \lim_{x \to 0} \frac{\cos x + \cos x - x\,\operatorname{sen} x}{-3\cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{2\cos x - x\,\operatorname{sen} x}{-3\cos x} = \frac{2 - 0}{-3} = -\frac{2}{3}

Comprobación con infinitésimos equivalentes (

\operatorname{sen} x \sim x

\cos x - 1 \sim -\frac{x^2}{2}

cuando

x \to 0

\frac{x\,\operatorname{sen} x}{3\,(\cos x - 1)} \sim \frac{x^2}{3\cdot\left(-\frac{x^2}{2}\right)} = -\frac{2}{3} \ \checkmark

Consejo

Antes de integrar una fracción, mira si el numerador es la derivada del denominador (o un múltiplo): entonces la primitiva es un logaritmo y te ahorras descomponer en fracciones simples.

En un área, justifica el signo de la función en el intervalo: si cambiara de signo habría que partir la integral y sumar los valores absolutos de cada tramo.

Paso 1 de 3

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Integrales

Ejercicio 3.2 (bloque con optatividad 1). Considera la función