Derivadas y aplicaciones

La derivada del polinomio es$$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$$Como $f$ es derivable en todo $\mathbb{R}$, en un extremo relativo su derivada se anula. Traducimos las cuatro condiciones:$$\left\{\begin{array}{lll} f(0) = 1 & \Longrightarrow & d = 1 \\ f'(0) = 0 & \Longrightarrow & c = 0 \\ f(1) = 0 & \Longrightarrow & a + b + c + d = 0 \\ f'(1) = 0 & \Longrightarrow & 3a + 2b + c = 0 \end{array}\right.$$Con $c = 0$ y $d = 1$ quedan$$\left\{\begin{array}{l} a + b = -1 \\ 3a + 2b = 0 \end{array}\right.$$Multiplicando la primera por $2$ y restándola de la segunda: $3a - 2a = 0 - (-2)$, es decir, $a = 2$, y entonces $b = -1 - 2 = -3$.

El polinomio es$$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1$$Comprobación. $f(0) = 1$ ✓ y $f(1) = 2 - 3 + 1 = 0$ ✓. Además $f'(x) = 6x^2 - 6x = 6x(x - 1)$, que se anula en $x = 0$ y $x = 1$ ✓. Para ver que son extremos de verdad (no basta con $f' = 0$), usamos la derivada segunda:$$f''(x) = 12x - 6, \qquad f''(0) = -6 < 0 \ \ (\text{máximo relativo}), \qquad f''(1) = 6 > 0 \ \ (\text{mínimo relativo})$$