Sean la recta r \equiv \dfrac{x-1}{m} = \dfrac{y-1}{2} = \dfrac{z-1}{4} y el plano \pi \equiv x + y + kz = 0. Encontrar m y k para que: a) (1 punto) La recta r sea perpendicular al plano \pi. b) (1 punto) La recta r esté contenida en el plano \pi.

Matemáticas IIFácil2 pts

Rectas y planos

Castilla y León · 2019 · Junio · Opción B

Enunciado

Sean la recta

r \equiv \dfrac{x-1}{m} = \dfrac{y-1}{2} = \dfrac{z-1}{4}

y el plano

\pi \equiv x + y + kz = 0

.

Encontrar

m

k

para que:

a) (1 punto) La recta

r

sea perpendicular al plano

\pi

.

b) (1 punto) La recta

r

esté contenida en el plano

\pi

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ r \perp \pi \iff m = 2,\ k = 2}

\boxed{\text{b)}\ r \subset \pi \iff m = 6,\ k = -2}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Todo se decide con dos vectores: el director de la recta,

\vec v = (m, 2, 4)

, y el normal del plano,

\vec n = (1, 1, k)

.

En a) la recta es perpendicular al plano cuando su vector director es paralelo al vector normal: las coordenadas tienen que ser proporcionales. En b) la recta está contenida en el plano cuando su vector director es perpendicular al normal (

\vec v \cdot \vec n = 0

) y un punto de la recta está en el plano.

Desarrollo

De la ecuación continua de

r

y de la general de

\pi

P = (1, 1, 1) \in r, \qquad \vec v = (m, 2, 4), \qquad \vec n = (1, 1, k)

r \perp \pi \iff \vec v \parallel \vec n

, es decir, sus coordenadas son proporcionales:

\frac{m}{1} = \frac{2}{1} = \frac{4}{k}

De la primera igualdad,

m = 2

; de

2 = \frac{4}{k}

k = 2

.

Comprobación. Con

m = 2

k = 2

\vec v = (2, 2, 4) = 2\,(1, 1, 2) = 2\,\vec n

✓.

b)

r \subset \pi

exige dos condiciones:

La recta es paralela al plano (o está en él): $\vec v \cdot \vec n = 0$ .

m\cdot 1 + 2\cdot 1 + 4\cdot k = 0 \;\Longrightarrow\; m + 2 + 4k = 0

El punto $P = (1, 1, 1)$ de la recta está en el plano:

1 + 1 + k\cdot 1 = 0 \;\Longrightarrow\; k = -2

Sustituyendo en la primera:

m + 2 - 8 = 0

, luego

m = 6

.

Comprobación. Con

m = 6

k = -2

, un punto cualquiera de la recta es

(1 + 6\lambda,\ 1 + 2\lambda,\ 1 + 4\lambda)

, y al sustituir en el plano:

(1 + 6\lambda) + (1 + 2\lambda) - 2\,(1 + 4\lambda) = 2 + 8\lambda - 2 - 8\lambda = 0 \ \checkmark

para todo

\lambda

: todos los puntos de

r

están en

\pi

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No confundas las dos condiciones: recta perpendicular al plano significa vector director paralelo al normal; recta paralela o contenida, vector director perpendicular al normal.

En b) la condición $\vec v \cdot \vec n = 0$ sola no basta: la recta podría ser paralela al plano sin tocarlo. Hace falta además que un punto de la recta cumpla la ecuación del plano.