Matemáticas IIFácil2 pts

Matrices

También trata: Determinantes

Castilla y León · 2019 · Junio · Opción B

Enunciado

a) (1 punto) Encontrar los valores de

k

para que la matriz

A = \begin{pmatrix} k-1 & 2 & -2 \\ 0 & k-2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

sea invertible.

b) (1 punto) Encontrar la inversa de

A

para

k = 2

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ |A| = k(k - 1):\ A \text{ es invertible} \iff k \neq 0 \text{ y } k \neq 1}

\boxed{\text{b)}\ A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero. En a) calculamos

|A|

en función de

k

y excluimos los valores que lo anulan.

En b) sustituimos

k = 2

(que, según a), da una matriz invertible) y calculamos la inversa por adjuntos:

A^{-1} = \frac{1}{|A|}\,(\operatorname{Adj} A)^t

Desarrollo

a) Desarrollamos

|A|

por la primera columna (tiene un cero):

|A| = (k-1)\begin{vmatrix} k-2 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} - 0 + 1\cdot\begin{vmatrix} 2 & -2 \\ k-2 & 1 \end{vmatrix} = (k-1)(k-2) + \bigl(2 + 2(k-2)\bigr)

|A| = (k^2 - 3k + 2) + (2k - 2) = k^2 - k = k\,(k - 1)

|A| = 0 \iff k = 0 \ \text{o}\ k = 1

Por tanto

A

es invertible para todo $k \neq 0$ y $k \neq 1$ .

b) Con

k = 2

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad |A| = 2\,(2 - 1) = 2 \neq 0

Calculamos los adjuntos

A_{ij} = (-1)^{i+j}\,M_{ij}

A_{11} = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 0, \quad A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1, \quad A_{13} = \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0

A_{21} = -\begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -2, \quad A_{22} = \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 3, \quad A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 2

A_{31} = \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 2, \quad A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1, \quad A_{33} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0

\operatorname{Adj} A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -2 & 3 & 2 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad (\operatorname{Adj} A)^t = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 2 \\ 1 & 3 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}

A^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & -2 & 2 \\ 1 & 3 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

Comprobación.

A\,A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 + 1 + 0 & -1 + 3 - 2 & 1 - 1 + 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 + 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \ \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Al calcular la inversa por adjuntos, el fallo típico es olvidar el signo $(-1)^{i+j}$ o la trasposición. Hazlo en dos pasos visibles: primero $\operatorname{Adj} A$ , luego su traspuesta.

Comprueba siempre que $A\,A^{-1} = I$ : es un minuto y detecta cualquier error de signo.