Matemáticas IIFácil2 pts

Distribución normal

Castilla y León · 2019 · Junio · Opción A
Enunciado
Las notas de Matemáticas II de 500 alumnos presentados al examen de EBAU tienen una distribución normal con media 6,56{,}5 y desviación típica 22.

a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que un alumno haya obtenido más de 8 puntos.

b) (1 punto) ¿Cuántos alumnos obtuvieron notas menores de 5 puntos?

(Se adjunta la tabla de la normal).
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Resultado
a) P(X>8)=0,2266\boxed{\text{a)}\ P(X > 8) = 0{,}2266}b) P(X<5)=0,2266;500⋅0,2266≈113 alumnos\boxed{\text{b)}\ P(X < 5) = 0{,}2266;\quad 500 \cdot 0{,}2266 \approx 113 \ \text{alumnos}}
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

Llamamos XX a la nota de un alumno: X∼N(6,5; 2)X \sim N(6{,}5;\ 2). Para usar la tabla de la N(0,1)N(0, 1) tipificamos con Z=X−μσZ = \frac{X - \mu}{\sigma}. La tabla solo da P(Z≤z)P(Z \le z) con z≥0z \ge 0: la cola de la derecha se saca con el complementario y los valores negativos, con la simetría.

En b) calculamos la probabilidad de sacar menos de un 5 y la multiplicamos por los 500 alumnos para obtener cuántos se esperan.
2

Desarrollo

Sea XX = «nota de Matemáticas II de un alumno», X∼N(μ=6,5; σ=2)X \sim N(\mu = 6{,}5;\ \sigma = 2), y Z∼N(0,1)Z \sim N(0, 1).

a) Tipificamos:z=8−6,52=1,52=0,75z = \frac{8 - 6{,}5}{2} = \frac{1{,}5}{2} = 0{,}75P(X>8)=P(Z>0,75)=1−P(Z≤0,75)=1−0,7734=0,2266P(X > 8) = P(Z > 0{,}75) = 1 - P(Z \le 0{,}75) = 1 - 0{,}7734 = 0{,}2266b) Tipificamos:z=5−6,52=−1,52=−0,75z = \frac{5 - 6{,}5}{2} = \frac{-1{,}5}{2} = -0{,}75Por la simetría de la normal respecto de 00:P(X<5)=P(Z<−0,75)=P(Z>0,75)=1−0,7734=0,2266P(X < 5) = P(Z < -0{,}75) = P(Z > 0{,}75) = 1 - 0{,}7734 = 0{,}2266Es lógico que salga lo mismo que en a): 55 y 88 están a la misma distancia (1,51{,}5) de la media, uno por debajo y otro por encima.

El número de alumnos con nota menor que 5 es500⋅0,2266=113,3≈113 alumnos500 \cdot 0{,}2266 = 113{,}3 \approx 113 \ \text{alumnos}
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Consejo

La tabla no tiene valores negativos de zz: escribe siempre el paso P(Z<−a)=P(Z>a)=1−P(Z≤a)P(Z < -a) = P(Z > a) = 1 - P(Z \le a) en vez de leer 0,77340{,}7734 directamente.

En b) se pregunta por un número de alumnos: multiplica la probabilidad por 500 y redondea a un número entero. Dar solo 0,22660{,}2266 deja la respuesta a medias.
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