Límites y continuidad

a) En $x = 0$: $\cos 0 - 1 = 0$ y $0 \cdot \operatorname{sen} 0 = 0$, indeterminación $\frac{0}{0}$. Aplicamos L'Hôpital, derivando el denominador con la regla del producto:$$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x\,\operatorname{sen} x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\operatorname{sen} x}{\operatorname{sen} x + x\cos x}$$Sigue siendo $\frac{0}{0}$. Aplicamos L'Hôpital otra vez:$$= \lim_{x \to 0} \frac{-\cos x}{\cos x + \cos x - x\,\operatorname{sen} x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\cos x}{2\cos x - x\,\operatorname{sen} x} = \frac{-1}{2 - 0} = -\frac{1}{2}$$Comprobación con los infinitésimos equivalentes ($1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$ y $\operatorname{sen} x \sim x$ cuando $x \to 0$):$$\frac{\cos x - 1}{x\,\operatorname{sen} x} \sim \frac{-x^2/2}{x \cdot x} = -\frac{1}{2} \ \checkmark$$b) Estudiamos el signo de la diferencia:$$f(x) - g(x) = 4x - x^3 = x\,(4 - x^2) = x\,(2 - x)(2 + x)$$En $[0, 2]$ los tres factores son mayores o iguales que cero: $x \ge 0$, $2 - x \ge 0$ y $2 + x > 0$. Luego$$f(x) - g(x) \ge 0 \quad\text{para todo } x \in [0, 2], \qquad\text{es decir,}\qquad f \ge g \text{ en } [0, 2]$$(las gráficas solo se tocan en los extremos, $x = 0$ y $x = 2$). Como $f$ va por encima, el área es$$\text{Área} = \int_0^2 \bigl(4x - x^3\bigr)\,dx = \left[\,2x^2 - \frac{x^4}{4}\,\right]_0^2 = \left(8 - \frac{16}{4}\right) - 0 = 8 - 4 = 4 \ \text{u}^2$$