Matemáticas IIFácil2 pts

Derivadas y aplicaciones

Castilla y León · 2019 · Junio · Opción A

Enunciado

Dada la función

f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x

, para

x \in \mathbb{R}

.

a) (1 punto) Calcule sus máximos y mínimos relativos y sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

b) (1 punto) Calcule el máximo y mínimo absolutos en el intervalo

[-2, 2]

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Resultado

\boxed{\text{a) Crece en } (-\infty, -2) \cup (1, +\infty),\ \text{decrece en } (-2, 1);\ \text{máx. rel. } (-2, 20),\ \text{mín. rel. } (1, -7)}

\boxed{\text{b) En } [-2, 2]:\ \text{máximo absoluto } 20 \text{ en } x = -2;\ \text{mínimo absoluto } -7 \text{ en } x = 1}

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Estrategia

Es un polinomio, así que es continuo y derivable en todo

\mathbb{R}

. En a) buscamos los puntos críticos (

f'(x) = 0

) y estudiamos el signo de

f'

en los intervalos que determinan: donde

f' > 0

crece y donde

f' < 0

decrece, y los cambios de signo dan los extremos relativos.

En b), por el teorema de Weierstrass una función continua en un intervalo cerrado alcanza su máximo y su mínimo absolutos, y solo puede hacerlo en los puntos críticos interiores o en los extremos del intervalo: basta con comparar los valores de

f

en esos puntos.

Desarrollo

a) Derivamos y factorizamos:

f'(x) = 6x^2 + 6x - 12 = 6\,(x^2 + x - 2) = 6\,(x + 2)(x - 1)

f'(x) = 0 \iff x = -2 \ \text{o}\ x = 1

Estudiamos el signo de

f'

(el factor

6

es positivo):

	$(-\infty, -2)$	$(-2, 1)$	$(1, +\infty)$
$x + 2$	$-$	$+$	$+$
$x - 1$	$-$	$-$	$+$
$f'(x)$	$+$	$-$	$+$
$f$	crece	decrece	crece

(Por ejemplo,

f'(-3) = 24 > 0

f'(0) = -12 < 0

f'(2) = 24 > 0

.)

En

x = -2

la función pasa de crecer a decrecer: máximo relativo, con

f(-2) = 2(-8) + 3\cdot 4 - 12(-2) = -16 + 12 + 24 = 20

.

En

x = 1

pasa de decrecer a crecer: mínimo relativo, con

f(1) = 2 + 3 - 12 = -7

.

b)

f

es continua en

[-2, 2]

(es un polinomio), así que por el teorema de Weierstrass alcanza en él su máximo y su mínimo absolutos. Los candidatos son los extremos del intervalo y los puntos críticos que están dentro:

x = -2

(que es a la vez extremo del intervalo y punto crítico),

x = 1

x = 2

f(-2) = 20, \qquad f(1) = -7, \qquad f(2) = 16 + 12 - 24 = 4

El mayor valor es

20

y el menor,

-7

Máximo absoluto en $x = -2$ , con valor $f(-2) = 20$ .
Mínimo absoluto en $x = 1$ , con valor $f(1) = -7$ .

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En los extremos absolutos no olvides evaluar $f$ en los bordes del intervalo: aquí $f(2) = 4$ no gana, pero en otros ejercicios el máximo o el mínimo está justo en un extremo.

Da los intervalos de monotonía abiertos y justifica el signo de $f'$ en cada uno (con una tabla o evaluando un punto); decir «es un máximo» sin ese estudio resta en la corrección.