Matemáticas IIFácil2 pts

Rectas y planos

Castilla y León · 2019 · Junio · Opción A

Enunciado

a) (1 punto) Calcular la ecuación del plano

\pi

que contiene a la recta

r \equiv \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y-1}{3} = \dfrac{z-1}{2}

y pasa por el punto

A = (1, 2, 1)

.

b) (1 punto) Calcule la ecuación de la recta

r

que pasa por el punto

B = (2, 1, 2)

y es perpendicular a las rectas

s_1 \equiv \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y-1}{2} = \dfrac{z-1}{2}

s_2 \equiv \dfrac{x-2}{-1} = \dfrac{y-1}{3} = \dfrac{z}{2}

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Resultado

\boxed{\text{a)}\ \pi \equiv x - z = 0}

\boxed{\text{b)}\ r \equiv \frac{x - 2}{-1} = \frac{y - 1}{-3} = \frac{z - 2}{4}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) el plano queda determinado por un punto y dos vectores directores independientes: el vector director de

r

y el vector que va de un punto de

r

al punto

A

. Su producto vectorial da el vector normal del plano.

En b) la recta buscada tiene que ser perpendicular a las dos rectas dadas, así que su vector director es perpendicular a los dos vectores directores: lo da su producto vectorial. Con ese vector y el punto

B

escribimos la recta.

Desarrollo

a) De la ecuación continua de

r

leemos un punto y su vector director:

P = (1, 1, 1) \in r, \qquad \vec v_r = (2, 3, 2)

El punto

A

no está en

r

\frac{1-1}{2} = 0

pero

\frac{2-1}{3} = \frac{1}{3} \neq 0

. El segundo vector del plano es

\overrightarrow{PA} = (1, 2, 1) - (1, 1, 1) = (0, 1, 0)

que no es proporcional a

\vec v_r

. El vector normal es

\vec n = \vec v_r \times \overrightarrow{PA} = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 2 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (3\cdot 0 - 2\cdot 1)\,\vec i - (2\cdot 0 - 2\cdot 0)\,\vec j + (2\cdot 1 - 3\cdot 0)\,\vec k = (-2, 0, 2)

Podemos tomar el proporcional

\vec n = (1, 0, -1)

. El plano es

x - z + D = 0

, y como pasa por

P = (1, 1, 1)

1 - 1 + D = 0 \;\Longrightarrow\; D = 0 \qquad\Longrightarrow\qquad \pi \equiv x - z = 0

Comprobación.

A = (1, 2, 1)

1 - 1 = 0

✓. La recta está contenida:

P

cumple

1 - 1 = 0

✓ y

\vec n \cdot \vec v_r = 1\cdot 2 + 0\cdot 3 + (-1)\cdot 2 = 0

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) (El enunciado vuelve a llamar

r

a la recta de este apartado, aunque no tiene nada que ver con la de a).) Vectores directores de las dos rectas:

\vec v_1 = (2, 2, 2) \parallel (1, 1, 1), \qquad \vec v_2 = (-1, 3, 2)

Un vector perpendicular a los dos es su producto vectorial (usamos

(1, 1, 1)

, que tiene la misma dirección que

\vec v_1

\vec u = (1, 1, 1) \times (-1, 3, 2) = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = (2 - 3)\,\vec i - (2 + 1)\,\vec j + (3 + 1)\,\vec k = (-1, -3, 4)

La recta que pasa por

B = (2, 1, 2)

con vector director

\vec u

r \equiv \frac{x - 2}{-1} = \frac{y - 1}{-3} = \frac{z - 2}{4}, \qquad\text{o en paramétricas}\qquad \left\{\begin{array}{l} x = 2 - \lambda \\ y = 1 - 3\lambda \\ z = 2 + 4\lambda \end{array}\right.

Comprobación.

\vec u \cdot (1, 1, 1) = -1 - 3 + 4 = 0

✓ y

\vec u \cdot (-1, 3, 2) = 1 - 9 + 8 = 0

✓.

Consejo

Antes de hallar el plano que contiene a una recta y a un punto, comprueba que el punto no está en la recta: si lo estuviera, habría infinitos planos y el problema cambiaría por completo.

En b) simplifica el vector $(2, 2, 2)$ a $(1, 1, 1)$ antes del producto vectorial: la dirección es la misma y las cuentas, más cortas. Termina siempre comprobando con dos productos escalares.