Sistemas de ecuaciones

a) Escribimos el sistema y sus matrices:$$\left\{\begin{array}{rcl} x + y + mz & = & 4 \\ 2x + y & = & 3 \\ 2x + 2y + 2z & = & 6 \end{array}\right. \qquad A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & m \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & m & 4 \\ 2 & 1 & 0 & 3 \\ 2 & 2 & 2 & 6 \end{array}\right)$$Desarrollamos $|A|$ por la tercera columna (tiene un cero):$$|A| = m\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} - 0 + 2\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = m\,(4 - 2) + 2\,(1 - 2) = 2m - 2$$$$|A| = 0 \iff 2m - 2 = 0 \iff m = 1$$Caso $m \neq 1$. $|A| \neq 0$, luego $\operatorname{rg}(A) = 3 = \operatorname{rg}(A^*) =$ número de incógnitas: sistema compatible determinado, con solución única.

Caso $m = 1$. El menor $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$ (filas 1 y 2, columnas de $x$ e $y$) y $|A| = 0$, así que $\operatorname{rg}(A) = 2$. Orlamos ese menor con la tercera fila y la columna de términos independientes:$$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 2 & 1 & 3 \\ 2 & 2 & 6 \end{vmatrix} = 1\cdot(6 - 6) - 1\cdot(12 - 6) + 4\cdot(4 - 2) = 0 - 6 + 8 = 2 \neq 0$$Luego $\operatorname{rg}(A^*) = 3 \neq \operatorname{rg}(A) = 2$: sistema incompatible, no hay solución.

Se ve también a mano: con $m = 1$, la tercera ecuación dividida entre $2$ es $x + y + z = 3$, que contradice la primera, $x + y + z = 4$.

b) Con $m = 2$ (no es el valor crítico, luego la solución es única):$$\left\{\begin{array}{l} x + y + 2z = 4 \\ 2x + y = 3 \\ 2x + 2y + 2z = 6 \end{array}\right.$$Dividimos la tercera entre $2$, $x + y + z = 3$, y se la restamos a la primera:$$(x + y + 2z) - (x + y + z) = 4 - 3 \;\Longrightarrow\; z = 1$$Entonces $x + y = 3 - z = 2$. Restando esta ecuación de $2x + y = 3$ queda $x = 1$, y por tanto $y = 1$.

Comprobación. $(1, 1, 1)$: primera, $1 + 1 + 2 = 4$ ✓; segunda, $2 + 1 = 3$ ✓; tercera, $2 + 2 + 2 = 6$ ✓.