En una empresa de alquiler de vehículos con conductor: - Trabajan 50 conductores de menos de 45 años, de los cuales 15 hablan inglés. - Trabajan 30 conductores de entre 45 y 55 años, de los cuales 6 hablan inglés. - Trabajan 20 conductores de más de 55 años, de los cuales 3 hablan inglés. Considerando los sucesos: A = "tener menos de 45 años", B = "tener entre 45 y 55 años", C = "tener más de 55 años" e I = "hablar inglés": a) (0,9 puntos) Calcular P(I/A), P(I/B) y P(I/C). b) (1,1 puntos) Si se elige al azar un conductor, y éste habla inglés, ¿cuál es la probabilidad de que tenga menos de 45 años?

Matemáticas IIFácil2 pts

Probabilidad

Castilla y León · 2019 · Julio · Opción B

Enunciado

En una empresa de alquiler de vehículos con conductor:

Trabajan 50 conductores de menos de 45 años, de los cuales 15 hablan inglés.
Trabajan 30 conductores de entre 45 y 55 años, de los cuales 6 hablan inglés.
Trabajan 20 conductores de más de 55 años, de los cuales 3 hablan inglés.

Considerando los sucesos:

A

= "tener menos de 45 años",

B

= "tener entre 45 y 55 años",

C

= "tener más de 55 años" e

I

= "hablar inglés":

a) (0,9 puntos) Calcular

P(I/A)

P(I/B)

P(I/C)

.

b) (1,1 puntos) Si se elige al azar un conductor, y éste habla inglés, ¿cuál es la probabilidad de que tenga menos de 45 años?

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Resultado

\boxed{\text{a)}\ P(I/A) = 0{,}3,\quad P(I/B) = 0{,}2,\quad P(I/C) = 0{,}15}

\boxed{\text{b)}\ P(I) = 0{,}24,\quad P(A/I) = \frac{5}{8} = 0{,}625}

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Estrategia

Los datos son recuentos, así que todo sale de contar casos: en total hay

50 + 30 + 20 = 100

conductores. En a) cada probabilidad condicionada es la proporción de los que hablan inglés dentro de cada grupo de edad.

En b) se pide

P(A/I)

: la probabilidad de un grupo sabiendo el resultado. Es el teorema de Bayes, con

P(I)

por el teorema de la probabilidad total (

A

B

C

forman un sistema completo de sucesos). Se puede comprobar contando: de los que hablan inglés, ¿cuántos tienen menos de 45 años?

Desarrollo

Tabla de contingencia con los datos:

	Habla inglés ( $I$ )	No habla inglés	Total
Menos de 45 ( $A$ )	15	35	50
Entre 45 y 55 ( $B$ )	6	24	30
Más de 55 ( $C$ )	3	17	20
Total	24	76	100

Al elegir un conductor al azar,

P(A) = \frac{50}{100} = 0{,}5, \qquad P(B) = \frac{30}{100} = 0{,}3, \qquad P(C) = \frac{20}{100} = 0{,}2

a) Dentro de cada grupo:

P(I/A) = \frac{15}{50} = \frac{3}{10} = 0{,}3, \qquad P(I/B) = \frac{6}{30} = \frac{1}{5} = 0{,}2, \qquad P(I/C) = \frac{3}{20} = 0{,}15

b) Por el teorema de la probabilidad total (

A

B

C

son incompatibles dos a dos y su unión es el total):

P(I) = P(A)\,P(I/A) + P(B)\,P(I/B) + P(C)\,P(I/C) = 0{,}5 \cdot 0{,}3 + 0{,}3 \cdot 0{,}2 + 0{,}2 \cdot 0{,}15

P(I) = 0{,}15 + 0{,}06 + 0{,}03 = 0{,}24

Por el teorema de Bayes:

P(A/I) = \frac{P(A)\,P(I/A)}{P(I)} = \frac{0{,}15}{0{,}24} = \frac{5}{8} = 0{,}625

Comprobación contando. Hablan inglés

15 + 6 + 3 = 24

conductores, y de ellos

15

tienen menos de 45 años:

\frac{15}{24} = \frac{5}{8}

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No confundas $P(I/A)$ con $P(A/I)$ : la primera es "de los menores de 45, qué parte habla inglés" ( $15$ de $50$ ) y la segunda, "de los que hablan inglés, qué parte es menor de 45" ( $15$ de $24$ ).

Aunque el resultado salga contando, la corrección valora que escribas la probabilidad total y Bayes con sus fórmulas: usa el recuento como comprobación final.