Matemáticas IIMedio2 pts

Integrales

Castilla y León · 2019 · Julio · Opción B

Enunciado

Determínense los valores de

a

y de

b

para los cuales la función definida por:

f(x) = \left\{\begin{array}{ll} a + \cos x, & \text{si } x \le 0 \\ x^2 - 2bx + 1, & \text{si } x > 0 \end{array}\right.

es continua y verifica que

\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx = \frac{1}{3}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{a = 0,\quad b = 1}

\boxed{f(x) = \cos x \ (x \le 0),\quad f(x) = (x - 1)^2 \ (x > 0)}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Hay dos incógnitas y dos condiciones. La continuidad solo puede fallar en

x = 0

, donde cambia la expresión: igualando los límites laterales con

f(0)

obtenemos

a

. La integral en

[0, 1]

solo usa el segundo trozo (el valor en el punto

x = 0

no cambia la integral), así que con la regla de Barrow obtenemos una ecuación en

b

Desarrollo

Continuidad. Para

x < 0

f(x) = a + \cos x

es continua (suma de una constante y el coseno); para

x > 0

f(x) = x^2 - 2bx + 1

es un polinomio. Queda estudiar

x = 0

f(0) = a + \cos 0 = a + 1

\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (a + \cos x) = a + 1, \qquad \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x^2 - 2bx + 1) = 1

f

es continua en

0

si y solo si los tres valores coinciden:

a + 1 = 1 \iff a = 0

(la continuidad no impone nada sobre

b

).

Integral. En

(0, 1]

la función vale

x^2 - 2bx + 1

; el valor en el único punto

x = 0

no afecta a la integral. Por la regla de Barrow:

\int_0^1 (x^2 - 2bx + 1)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} - b x^2 + x\right]_0^1 = \frac{1}{3} - b + 1 = \frac{4}{3} - b

Imponemos la condición:

\frac{4}{3} - b = \frac{1}{3} \iff b = 1

Comprobación. Con

a = 0

b = 1

f(x) = \left\{\begin{array}{ll} \cos x, & \text{si } x \le 0 \\ (x - 1)^2, & \text{si } x > 0 \end{array}\right.

Los dos trozos valen

1

x = 0

(continua ✓) y

\int_0^1 (x - 1)^2\,dx = \left[\frac{(x - 1)^3}{3}\right]_0^1 = 0 - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3}

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En la continuidad de una función a trozos, calcula los dos límites laterales y el valor de la función en el punto, y di que fuera de ese punto cada trozo es continuo: es lo que pide la corrección.

Fíjate en qué trozo cae el intervalo de integración: aquí $[0, 1]$ usa solo $x^2 - 2bx + 1$ . Integrar el coseno porque $f(0)$ sale de esa expresión es un error frecuente.