Derivadas y aplicaciones

a) Teorema de Rolle. Sea $f$ una función que cumple:

1. $f$ es continua en el intervalo cerrado $[a, b]$;
2. $f$ es derivable en el intervalo abierto $(a, b)$;
3. $f(a) = f(b)$.

Entonces existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que $f'(c) = 0$.

Geométricamente: hay al menos un punto entre $a$ y $b$ donde la recta tangente a la gráfica es horizontal.

b) Un cero. $f(0) = 2 \cdot 0 - \operatorname{sen} 0 = 0$, así que $f$ se anula en $x = 0$.

Es el único. $f$ es suma de un polinomio y de la función seno, luego es continua y derivable en todo $\mathbb{R}$, con$$f'(x) = 2 - \cos x$$Como $-1 \le \cos x \le 1$ para todo $x$,$$f'(x) = 2 - \cos x \ge 2 - 1 = 1 > 0 \quad \text{para todo } x \in \mathbb{R}$$Supongamos que $f$ tuviera otro cero $x_1 \neq 0$. Llamemos $a$ al menor de $\{0, x_1\}$ y $b$ al mayor. En $[a, b]$ la función es continua, es derivable en $(a, b)$ y $f(a) = f(b) = 0$: se cumplen las hipótesis de Rolle, así que existiría $c \in (a, b)$ con $f'(c) = 0$. Pero acabamos de ver que $f'(c) \ge 1$. Esta contradicción prueba que $x = 0$ es el único punto donde $f$ se anula.

Otro razonamiento. Como $f'(x) > 0$ en todo $\mathbb{R}$, $f$ es estrictamente creciente: para $x < 0$, $f(x) < f(0) = 0$, y para $x > 0$, $f(x) > 0$. Solo vale $0$ en $x = 0$.