Matemáticas IIFácil2 pts

Vectores y ángulos

Castilla y León · 2019 · Julio · Opción B

Enunciado

Hallar

a

b

para que los vectores

(a, -1, 2)

(1, b, -2)

sean perpendiculares y las dos primeras coordenadas de su producto vectorial sean iguales.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{a = 2,\quad b = -2}

\boxed{\vec{u} = (2, -1, 2),\ \vec{v} = (1, -2, -2),\ \vec{u} \times \vec{v} = (6, 6, -3)}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cada condición da una ecuación. Perpendiculares significa producto escalar nulo. Para la segunda calculamos el producto vectorial con el determinante simbólico e igualamos sus dos primeras coordenadas. Resolvemos el sistema de dos ecuaciones con incógnitas

a

b

Desarrollo

Llamamos

\vec{u} = (a, -1, 2)

\vec{v} = (1, b, -2)

.

Perpendicularidad:

\vec{u} \cdot \vec{v} = a \cdot 1 + (-1) \cdot b + 2 \cdot (-2) = a - b - 4 = 0

Producto vectorial:

\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a & -1 & 2 \\ 1 & b & -2 \end{vmatrix} = (2 - 2b)\,\vec{i} - (-2a - 2)\,\vec{j} + (ab + 1)\,\vec{k} = (2 - 2b,\ 2a + 2,\ ab + 1)

Las dos primeras coordenadas iguales:

2 - 2b = 2a + 2 \iff -2b = 2a \iff b = -a

Sistema. Sustituyendo

b = -a

en la primera ecuación:

a - (-a) - 4 = 0 \iff 2a = 4 \iff a = 2, \qquad b = -2

Comprobación. Con

\vec{u} = (2, -1, 2)

\vec{v} = (1, -2, -2)

\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 + 2 - 4 = 0

✓, y

\vec{u} \times \vec{v} = (2 - 2 \cdot (-2),\ 2 \cdot 2 + 2,\ 2 \cdot (-2) + 1) = (6,\ 6,\ -3)

cuyas dos primeras coordenadas son iguales ✓.

Consejo

En el producto vectorial, la segunda coordenada lleva un signo menos delante del adjunto: $-(a \cdot (-2) - 2 \cdot 1) = 2a + 2$ . Olvidarlo es el error típico y aquí cambiaría por completo la segunda ecuación.

Termina sustituyendo los valores y calculando el producto vectorial con números: si sus dos primeras coordenadas coinciden, el ejercicio está bien.