Dadas las matrices A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}, M = \begin{pmatrix} x & 0 \\ y & 1 \\ x - y & 1 \end{pmatrix} y N = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}, calcular los valores de x e y, para que el producto AM sea igual a la inversa de la matriz N.

Matemáticas IIFácil2 pts

Matrices

Castilla y León · 2019 · Julio · Opción B

Enunciado

Dadas las matrices

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}

M = \begin{pmatrix} x & 0 \\ y & 1 \\ x - y & 1 \end{pmatrix}

N = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}

, calcular los valores de

x

y

, para que el producto

AM

sea igual a la inversa de la matriz

N

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{N^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix},\qquad AM = N^{-1} \iff x = 3,\ y = 4}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Calculamos por separado las dos matrices que hay que igualar.

A

2 \times 3

M

3 \times 2

, así que

AM

es una matriz

2 \times 2

con

x

y

. La inversa de

N

existe si

|N| \neq 0

y, al ser

2 \times 2

, se obtiene rápido con la matriz adjunta. Igualando elemento a elemento sale un sistema lineal en

x

y

Desarrollo

Producto $AM$ (fila de

A

por columna de

M

AM = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & 0 \\ y & 1 \\ x - y & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + 0 + (x - y) & 0 + 0 + 1 \\ -x + y + 0 & 0 + 1 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x - y & 1 \\ -x + y & 1 \end{pmatrix}

Inversa de $N$ . Su determinante es

|N| = 1 \cdot 2 - (-1)(-1) = 2 - 1 = 1 \neq 0

luego

N

es invertible. Para una matriz

2 \times 2

N^{-1} = \frac{1}{|N|}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

N^{-1} = \frac{1}{1}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

Comprobación:

N N^{-1} = \begin{pmatrix} 2 - 1 & 1 - 1 \\ -2 + 2 & -1 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

✓.

Igualamos $AM = N^{-1}$ :

\begin{pmatrix} 2x - y & 1 \\ -x + y & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \iff \left\{\begin{array}{l} 2x - y = 2 \\ -x + y = 1 \end{array}\right.

(los elementos de la segunda columna,

1 = 1

, se cumplen siempre). Sumando las dos ecuaciones,

x = 3

, y entonces

y = 1 + x = 4

.

Comprobación. Con

x = 3

y = 4

M = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 4 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}

AM = \begin{pmatrix} 3 + 0 - 1 & 0 + 0 + 1 \\ -3 + 4 + 0 & 0 + 1 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = N^{-1} \ ✓

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Antes de multiplicar, comprueba las dimensiones: $(2 \times 3)\cdot(3 \times 2)$ da $2 \times 2$ , del mismo tamaño que $N^{-1}$ . Si te sale otra cosa, has multiplicado en el orden contrario.

Comprueba siempre la inversa multiplicando por $N$ : un signo mal puesto en la adjunta te llevaría a un sistema distinto y a unos $x$ , $y$ equivocados.