Matemáticas IIFácil2 pts

Distribución normal

Castilla y León · 2019 · Julio · Opción A

Enunciado

La temperatura del cuerpo humano sigue una distribución normal de media

37\,^\circ\text{C}

y desviación típica

0{,}5\,^\circ\text{C}

.

a) (1 punto) Calcular la probabilidad de que la temperatura de una persona esté comprendida entre

36\,^\circ\text{C}

38\,^\circ\text{C}

.

b) (1 punto) Calcular la probabilidad de que la temperatura de una persona sea menor que

36{,}5\,^\circ\text{C}

.

(Se adjunta la tabla de la normal)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ P(36 \le X \le 38) = P(-2 \le Z \le 2) = 0{,}9544}

\boxed{\text{b)}\ P(X < 36{,}5) = P(Z < -1) = 0{,}1587}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Llamamos

X

a la temperatura de una persona:

X \sim N(37;\ 0{,}5)

. En los dos apartados tipificamos con

Z = \frac{X - 37}{0{,}5}

y buscamos en la tabla de la

N(0, 1)

, que da

P(Z \le z)

para

z \ge 0

. Los valores negativos se resuelven con la simetría de la normal.

Desarrollo

Sea

X

= "temperatura en

^\circ\text{C}

de una persona",

X \sim N(\mu = 37;\ \sigma = 0{,}5)

, y

Z = \frac{X - 37}{0{,}5} \sim N(0, 1)

.

a) Tipificamos los extremos:

z_1 = \frac{36 - 37}{0{,}5} = -2, \qquad z_2 = \frac{38 - 37}{0{,}5} = 2

P(36 \le X \le 38) = P(-2 \le Z \le 2) = P(Z \le 2) - P(Z < -2)

Por simetría,

P(Z < -2) = 1 - P(Z \le 2)

, así que

P(-2 \le Z \le 2) = 2\,P(Z \le 2) - 1 = 2 \cdot 0{,}9772 - 1 = 0{,}9544

b) Tipificamos:

z = \frac{36{,}5 - 37}{0{,}5} = -1

P(X < 36{,}5) = P(Z < -1) = 1 - P(Z \le 1) = 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587

Comprobación de sentido. En a) el intervalo es

\mu \pm 2\sigma

, que en una normal recoge alrededor del

95\ \%

de los valores:

0{,}9544

encaja. En b)

36{,}5

está una desviación típica por debajo de la media, y la cola izquierda más allá de

\mu - \sigma

es aproximadamente el

16\ \%

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

La tabla solo trae valores positivos de $z$ : escribe siempre el paso $P(Z < -a) = 1 - P(Z \le a)$ en vez de buscar $-1$ directamente.

Con un intervalo simétrico respecto de la media, $P(-a \le Z \le a) = 2\,P(Z \le a) - 1$ ahorra cuentas. Y recuerda los valores de referencia ( $\mu \pm \sigma$ , unos dos tercios; $\mu \pm 2\sigma$ , un $95\ \%$ ) para detectar un error de tabla.

Paso 1 de 3

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