Límites y continuidad

a) Al sustituir $x = 0$: $\operatorname{sen} 0 = 0$ y $e^0 - \cos 0 = 1 - 1 = 0$. Es una indeterminación $\frac{0}{0}$ y las dos funciones son derivables cerca de $0$, así que por L'Hôpital:$$\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen} x}{e^x - \cos x} \overset{\frac{0}{0}}{=} \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{e^x + \operatorname{sen} x} = \frac{\cos 0}{e^0 + \operatorname{sen} 0} = \frac{1}{1 + 0} = 1$$b) Puntos de corte. $f(x) = g(x) \iff x = ax \iff (a - 1)x = 0 \iff x = 0$ (porque $a \neq 1$).

Posición relativa. Para $x \in (0, 1]$, $g(x) - f(x) = (a - 1)x > 0$ porque $a > 1$: $g$ va por encima.

El recinto está limitado por las dos rectas y la recta vertical $x = 1$; es el triángulo de vértices $(0, 0)$, $(1, 1)$ y $(1, a)$. Su área:$$\text{Área} = \int_0^1 \bigl(g(x) - f(x)\bigr)\,dx = \int_0^1 (a - 1)\,x\,dx = (a - 1)\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = \frac{a - 1}{2}$$Imponemos que valga $1$:$$\frac{a - 1}{2} = 1 \iff a - 1 = 2 \iff a = 3$$que cumple $a > 1$.

Comprobación geométrica. Con $a = 3$ el triángulo tiene base vertical de $(1, 1)$ a $(1, 3)$, de longitud $2$, y altura $1$ (la distancia del origen a la recta $x = 1$): área $\frac{2 \cdot 1}{2} = 1$ ✓.