Derivadas y aplicaciones

Continuidad en $0$. $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -0 - 0 = 0$, $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 - 0 = 0$ y $f(0) = 0$: $f$ es continua en todo $\mathbb{R}$.

Derivada fuera de $0$:$$f'(x) = \left\{\begin{array}{ll} -2x - 2, & \text{si } x < 0 \\ 2x - 4, & \text{si } x > 0 \end{array}\right. \qquad f''(x) = \left\{\begin{array}{ll} -2, & \text{si } x < 0 \\ 2, & \text{si } x > 0 \end{array}\right.$$En $x = 0$ las derivadas laterales son $f'(0^-) = -2$ y $f'(0^+) = -4$: distintas, así que $f$ no es derivable en $0$ (tiene un punto anguloso).

a) En $x = -1$ (trozo $x < 0$):$$f'(-1) = -2(-1) - 2 = 0, \qquad f''(-1) = -2 < 0$$La derivada se anula y la segunda es negativa: $f$ tiene un máximo relativo en $x = -1$, con $f(-1) = -1 + 2 = 1$. (Por el signo de $f'$: en $(-\infty, -1)$, $f'(x) = -2(x + 1) > 0$, crece; en $(-1, 0)$, $f'(x) < 0$, decrece.)

En $x = 2$ (trozo $x > 0$):$$f'(2) = 2 \cdot 2 - 4 = 0, \qquad f''(2) = 2 > 0$$$f$ tiene un mínimo relativo en $x = 2$, con $f(2) = 4 - 8 = -4$. (En $(0, 2)$, $f'(x) = 2(x - 2) < 0$, decrece; en $(2, +\infty)$, $f'(x) > 0$, crece.)

b) Estudiamos el signo de $f'$ cerca de $0$:

• En $(-1, 0)$: $x + 1 > 0$, luego $f'(x) = -2(x + 1) < 0$ y $f$ es decreciente.
• En $(0, 2)$: $x - 2 < 0$, luego $f'(x) = 2(x - 2) < 0$ y $f$ es decreciente.

Como $f$ es continua en $0$ y decreciente a los dos lados, es decreciente en todo $(-1, 2)$: a la izquierda de $0$ toma valores mayores que $f(0)$ y a la derecha, menores. No puede haber ni máximo ni mínimo relativo en $0$.

Comprobación directa. Para $x \in (-1, 0)$, $f(x) = -x(x + 2) > 0 = f(0)$ (los dos factores $-x$ y $x + 2$ son positivos), y para $x \in (0, 2)$, $f(x) = x(x - 4) < 0 = f(0)$. En cualquier entorno de $0$ hay puntos por encima y por debajo de $f(0)$: no es extremo.