Matemáticas IIFácil2 pts

Vectores y ángulos

Castilla y León · 2019 · Julio · Opción A

Enunciado

a) (0,5 puntos) Consideremos los vectores

\vec{u} = (1, 1, a)

\vec{v} = (1, -1, a)

. Calcular

a

para que sean perpendiculares.

b) (1,5 puntos) Calcular un vector unitario perpendicular a los vectores

\vec{p} = (1, 2, 3)

\vec{q} = (1, -2, -3)

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Resultado

\boxed{\text{a)}\ a = 0}

\boxed{\text{b)}\ \vec{w} = \left(0,\ \tfrac{3}{\sqrt{13}},\ -\tfrac{2}{\sqrt{13}}\right)\ \text{(o su opuesto)}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Dos vectores no nulos son perpendiculares si y solo si su producto escalar es cero: en a) eso da una ecuación en

a

.

En b) el producto vectorial

\vec{p} \times \vec{q}

es perpendicular a la vez a

\vec{p}

y a

\vec{q}

(que no son paralelos). Después lo dividimos entre su módulo para que sea unitario. Hay dos soluciones: ese vector y su opuesto.

Desarrollo

a) Producto escalar:

\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + a \cdot a = 1 - 1 + a^2 = a^2

Los vectores son perpendiculares cuando

\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \iff a^2 = 0 \iff a = 0

Con

a = 0

\vec{u} = (1, 1, 0)

\vec{v} = (1, -1, 0)

, y en efecto

1 - 1 + 0 = 0

✓.

b)

\vec{p}

\vec{q}

no son proporcionales (

\frac{1}{1} \neq \frac{2}{-2}

), así que su producto vectorial no es nulo y es perpendicular a los dos:

\vec{p} \times \vec{q} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & -3 \end{vmatrix} = (-6 + 6)\,\vec{i} - (-3 - 3)\,\vec{j} + (-2 - 2)\,\vec{k} = (0,\ 6,\ -4)

Su módulo:

|\vec{p} \times \vec{q}| = \sqrt{0^2 + 6^2 + (-4)^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}

Dividiendo:

\vec{w} = \frac{(0,\ 6,\ -4)}{2\sqrt{13}} = \left(0,\ \frac{3}{\sqrt{13}},\ -\frac{2}{\sqrt{13}}\right) = \left(0,\ \frac{3\sqrt{13}}{13},\ -\frac{2\sqrt{13}}{13}\right) \approx (0;\ 0{,}832;\ -0{,}555)

Comprobación.

\vec{w} \cdot \vec{p} = \frac{0 + 6 - 6}{\sqrt{13}} = 0

✓,

\vec{w} \cdot \vec{q} = \frac{0 - 6 + 6}{\sqrt{13}} = 0

✓ y

|\vec{w}|^2 = \frac{9 + 4}{13} = 1

✓.

El opuesto,

-\vec{w} = \left(0,\ -\frac{3}{\sqrt{13}},\ \frac{2}{\sqrt{13}}\right)

, también es unitario y perpendicular a los dos; el enunciado pide uno, así que basta con dar cualquiera de ellos.

Consejo

Un vector perpendicular a otros dos se obtiene siempre con el producto vectorial, pero no olvides el último paso: dividir entre el módulo. Dar $(0, 6, -4)$ como respuesta deja el apartado a medias, porque no es unitario.

Comprueba al final que el producto escalar con cada vector da cero: es un minuto y detecta cualquier signo cambiado en el determinante.