Sistemas de ecuaciones

a) Matriz de coeficientes y matriz ampliada:$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & m \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & m & 4 \end{array}\right)$$Ninguna de las dos puede tener rango mayor que 2, porque solo tienen dos filas. El menor formado por las columnas de $x$ e $y$ no depende de $m$:$$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 2 = -1 \neq 0$$Luego, para cualquier valor de $m$,$$\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 2 < 3 = \text{número de incógnitas}$$y, por el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible indeterminado para todo $m \in \mathbb{R}$, con $3 - 2 = 1$ parámetro (infinitas soluciones). No hay ningún valor de $m$ que haya que estudiar aparte.

b) Con $m = 1$:$$\left\{\begin{array}{l} x + y - z = 1 \\ 2x + y + z = 4 \end{array}\right.$$Como el menor no nulo está en las columnas de $x$ e $y$, tomamos $z = \lambda$ como parámetro:$$\left\{\begin{array}{l} x + y = 1 + \lambda \\ 2x + y = 4 - \lambda \end{array}\right.$$Restando la primera ecuación a la segunda, $x = 3 - 2\lambda$. Y de la primera, $y = 1 + \lambda - x = 1 + \lambda - 3 + 2\lambda = -2 + 3\lambda$.

Comprobación. Primera ecuación: $(3 - 2\lambda) + (-2 + 3\lambda) - \lambda = 1$ ✓. Segunda: $2(3 - 2\lambda) + (-2 + 3\lambda) + \lambda = 6 - 4\lambda - 2 + 3\lambda + \lambda = 4$ ✓.

Geométricamente son dos planos que no son paralelos (sus normales $(1, 1, -1)$ y $(2, 1, 1)$ no son proporcionales): se cortan en la recta que acabamos de escribir en paramétricas.