Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Distribución normal

También trata: Probabilidad

Castilla-La Mancha · 2019 · Junio · Opción B

Enunciado

a) Una alarma de seguridad tiene instalados dos sensores. Ante una emergencia los sensores se activan de forma independiente. La probabilidad de que se active el primer sensor es de

0{,}98

y de que se active el segundo es de

0{,}96

. Calcula razonadamente la probabilidad de que ante una emergencia:

a1) Se active al menos uno de los dos sensores. (0,75 puntos)

a2) Se active solo uno de los sensores. (0,5 puntos)

b) El tiempo, en horas, empleado en realizar cierta intervención quirúrgica sigue una distribución normal

N(10, 2)

. Calcular razonadamente el porcentaje de estas intervenciones que se pueden realizar:

b1) Entre

6{,}5

13

horas. (0,75 puntos)

b2) En menos de siete horas. (0,5 puntos)

(Se adjunta la tabla de la distribución normal.)

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Resultado

\boxed{\text{a1)}\ 0{,}9992 \qquad \text{a2)}\ 0{,}0584}

\boxed{\text{b1)}\ P(6{,}5 < X < 13) = 0{,}8931 \to 89{,}31\,\% \qquad \text{b2)}\ P(X < 7) = 0{,}0668 \to 6{,}68\,\%}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a), la clave es la palabra «independiente»: la probabilidad de la intersección es el producto. «Al menos uno» se calcula mejor por el contrario (que no se active ninguno), y «solo uno» son dos casos incompatibles: el primero sí y el segundo no, o al revés.

En b) tipificamos con

Z = \frac{X - 10}{2}

para pasar a la

N(0, 1)

y leemos la tabla. Los valores negativos de

z

no están en la tabla: se usan la simetría,

P(Z < -a) = 1 - P(Z < a)

Desarrollo

a) Sean

S_1

S_2

los sucesos «se activa el primer sensor» y «se activa el segundo». Son independientes, con

P(S_1) = 0{,}98, \quad P(S_2) = 0{,}96, \quad P(\overline{S_1}) = 0{,}02, \quad P(\overline{S_2}) = 0{,}04

(Los complementarios de sucesos independientes también son independientes.)

a1) Al menos uno, por el suceso contrario (no se activa ninguno):

P(S_1 \cup S_2) = 1 - P(\overline{S_1} \cap \overline{S_2}) = 1 - 0{,}02 \cdot 0{,}04 = 1 - 0{,}0008 = 0{,}9992

(También:

P(S_1) + P(S_2) - P(S_1)P(S_2) = 0{,}98 + 0{,}96 - 0{,}9408 = 0{,}9992

.)

a2) Solo uno: o se activa el primero y no el segundo, o al revés (sucesos incompatibles):

P(\text{solo uno}) = P(S_1)\,P(\overline{S_2}) + P(\overline{S_1})\,P(S_2) = 0{,}98 \cdot 0{,}04 + 0{,}02 \cdot 0{,}96 = 0{,}0392 + 0{,}0192 = 0{,}0584

X

= «tiempo de la intervención, en horas»,

X \sim N(10, 2)

, es decir,

\mu = 10

\sigma = 2

. Tipificamos con

Z = \dfrac{X - 10}{2} \sim N(0, 1)

.

b1)

P(6{,}5 < X < 13) = P\left(\frac{6{,}5 - 10}{2} < Z < \frac{13 - 10}{2}\right) = P(-1{,}75 < Z < 1{,}5)

= P(Z < 1{,}5) - P(Z < -1{,}75) = P(Z < 1{,}5) - \left[1 - P(Z < 1{,}75)\right]

= 0{,}9332 - (1 - 0{,}9599) = 0{,}9332 - 0{,}0401 = 0{,}8931

Es decir, el

89{,}31\,\%

de las intervenciones.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b2)

P(X < 7) = P\left(Z < \frac{7 - 10}{2}\right) = P(Z < -1{,}5) = 1 - P(Z < 1{,}5) = 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668

Es decir, el

6{,}68\,\%

de las intervenciones.

Consejo

En a2) «solo uno» no es lo mismo que «al menos uno»: hay que quitar el caso en que se activan los dos. Y la independencia permite multiplicar, pero dilo: es lo que justifica el producto.

En la normal, en $N(10, 2)$ el $2$ es la desviación típica. Cuidado con los $z$ negativos: la tabla solo da $P(Z < a)$ con $a \geq 0$ , así que usa $P(Z < -a) = 1 - P(Z < a)$ . Se pide porcentaje.

Paso 1 de 3

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