Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

También trata: Áreas, volúmenes y distancias

Castilla-La Mancha · 2019 · Junio · Opción B

Enunciado

Sean la recta

r \equiv \dfrac{x - 1}{3} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z + 1}{2}

, el punto

P(3, 1, -1)

y el plano

\pi \equiv 2x + y - z = 0

.

a) Calcula la distancia del punto

P

a la recta

r

. (1,25 puntos)

b) Encuentra razonadamente las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto

P

y por el punto

Q

, siendo

Q

el punto de corte de la recta

r

y el plano paralelo a

\pi

que contiene a

P

. (1,25 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ d(P, r) = \frac{\sqrt{6}}{2} \approx 1{,}22\ \text{u}}

\boxed{\text{b)}\ Q(4, 1, 1);\quad x = 3 + \lambda,\ \ y = 1,\ \ z = -1 + 2\lambda}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

De la ecuación continua de

r

leemos un punto,

R(1, 0, -1)

, y un vector director,

\vec{v} = (3, 1, 2)

.

En a) usamos la fórmula de la distancia de un punto a una recta con el producto vectorial: el módulo de

\overrightarrow{RP} \times \vec{v}

es el área del paralelogramo que forman, y dividiendo entre la base

|\vec{v}|

queda la altura, que es la distancia.

En b) vamos por pasos: el plano paralelo a

\pi

tiene el mismo vector normal, así que es

2x + y - z = D

, y

D

sale de imponer que pase por

P

. Después cortamos ese plano con

r

(en paramétricas) para hallar

Q

, y la recta

PQ

tiene como vector director

\overrightarrow{PQ}

Desarrollo

Datos de $r$ : punto

R(1, 0, -1)

y vector director

\vec{v} = (3, 1, 2)

. En paramétricas:

r \equiv \begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = t \\ z = -1 + 2t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}

a) Vector que une el punto de la recta con

P

\overrightarrow{RP} = (3 - 1, 1 - 0, -1 + 1) = (2, 1, 0)

\overrightarrow{RP} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (2 - 0)\,\vec{i} - (4 - 0)\,\vec{j} + (2 - 3)\,\vec{k} = (2, -4, -1)

\left|\overrightarrow{RP} \times \vec{v}\right| = \sqrt{4 + 16 + 1} = \sqrt{21}, \qquad |\vec{v}| = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14}

d(P, r) = \frac{\left|\overrightarrow{RP} \times \vec{v}\right|}{|\vec{v}|} = \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{14}} = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2} \approx 1{,}2247\ \text{u}

b) Plano paralelo a $\pi$ por $P$ . Mismo vector normal

(2, 1, -1)

\pi' \equiv 2x + y - z + D = 0, \qquad P \in \pi':\ 6 + 1 + 1 + D = 0 \;\Longrightarrow\; D = -8

\pi' \equiv 2x + y - z - 8 = 0

Punto $Q = r \cap \pi'$ . Sustituimos las paramétricas de

r

2(1 + 3t) + t - (-1 + 2t) - 8 = 0 \;\Longrightarrow\; 2 + 6t + t + 1 - 2t - 8 = 0 \;\Longrightarrow\; 5t = 5 \;\Longrightarrow\; t = 1

Q = (1 + 3, 1, -1 + 2) = (4, 1, 1)

Comprobación:

2 \cdot 4 + 1 - 1 = 8

\frac{4 - 1}{3} = \frac{1}{1} = \frac{1 + 1}{2} = 1

, así que

Q

está en

\pi'

y en

r

.

Recta $PQ$ . Vector director

\overrightarrow{PQ} = (4 - 3, 1 - 1, 1 + 1) = (1, 0, 2)

y punto

P(3, 1, -1)

s \equiv \begin{cases} x = 3 + \lambda \\ y = 1 \\ z = -1 + 2\lambda \end{cases}, \quad \lambda \in \mathbb{R}

(Con

\lambda = 1

se obtiene

Q

. ✓)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Al leer la recta en forma continua, el punto es $(1, 0, -1)$ : los signos cambian respecto a lo que aparece en los numeradores ( $z + 1$ corresponde a $z_0 = -1$ ).

En b) el plano paralelo a $\pi$ conserva el vector normal y solo cambia el término independiente. Comprueba que $Q$ cumple a la vez la ecuación de $r$ y la del plano antes de seguir.