Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Matrices

Castilla-La Mancha · 2019 · Junio · Opción B

Enunciado

Dadas matrices

A = \begin{pmatrix} -1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad C = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}

a) Calcula razonadamente la matriz inversa de

A

. (1 punto)

b) Calcula razonadamente la matriz

X

que verifica que

A \cdot X - 2B = C

. (1,5 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ -1 & -3 & -2 \end{pmatrix} \qquad \text{b)}\ X = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 8 \\ 4 & 5 & 10 \\ -9 & -12 & -23 \end{pmatrix}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a), primero el determinante (si es cero, no hay inversa). Aquí la tercera columna tiene dos ceros, así que conviene desarrollar por ella. Después, la inversa por adjuntos:

A^{-1} = \frac{1}{|A|}\,(\operatorname{Adj} A)^t

.

En b) despejamos

X

como en una ecuación normal, pero respetando el lado por el que multiplicamos:

A X = C + 2B

, y multiplicando por

A^{-1}

por la izquierda,

X = A^{-1}(C + 2B)

Desarrollo

a) Determinante, desarrollando por la tercera columna (solo el primer elemento no es nulo):

|A| = (-1) \cdot (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = (-1)(1 - 2) = 1 \neq 0

Luego

A

es invertible. Adjuntos

A_{ij} = (-1)^{i+j}\,M_{ij}

A_{11} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 0, \quad A_{12} = -\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = 0, \quad A_{13} = \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -1

A_{21} = -\begin{vmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 1, \quad A_{22} = \begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = 2, \quad A_{23} = -\begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -3

A_{31} = \begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1, \quad A_{32} = -\begin{vmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 1, \quad A_{33} = \begin{vmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -2

\operatorname{Adj} A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; A^{-1} = \frac{1}{|A|}\,(\operatorname{Adj} A)^t = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ -1 & -3 & -2 \end{pmatrix}

Comprobación:

A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ -1 & -3 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

✓

b) Despejamos:

A X - 2B = C \;\Longrightarrow\; A X = C + 2B \;\Longrightarrow\; X = A^{-1}(C + 2B)

(multiplicando por

A^{-1}

por la izquierda en los dos miembros, que existe por a)).

C + 2B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 4 & 4 \\ 0 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 5 & 5 \\ 1 & 3 & 2 \\ 2 & -1 & 6 \end{pmatrix}

X = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ -1 & -3 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 5 & 5 \\ 1 & 3 & 2 \\ 2 & -1 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 2 & 3 - 1 & 2 + 6 \\ 2 + 2 & 6 - 1 & 4 + 6 \\ -2 - 3 - 4 & -5 - 9 + 2 & -5 - 6 - 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 8 \\ 4 & 5 & 10 \\ -9 & -12 & -23 \end{pmatrix}

Comprobación:

A X = \begin{pmatrix} 2 & 5 & 5 \\ 1 & 3 & 2 \\ 2 & -1 & 6 \end{pmatrix} = C + 2B

, así que

AX - 2B = C

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El producto de matrices no es conmutativo: de $AX = M$ sale $X = A^{-1}M$ , nunca $M A^{-1}$ . Escribe «multiplico por la izquierda por $A^{-1}$ » para que se vea que lo tienes claro.

En la inversa por adjuntos, los dos fallos típicos son el signo $(-1)^{i+j}$ y olvidar trasponer la adjunta. Comprueba $A \cdot A^{-1} = I$ : cuesta un minuto y te salva el apartado b).