Integrales

a) Función $f$. $f$ está definida en todo $\mathbb{R}$ (el denominador nunca se anula). Derivando:$$f'(x) = \frac{-2x}{(1 + x^2)^2}$$$$f'(x) = 0 \;\Longleftrightarrow\; x = 0$$El denominador es siempre positivo, así que el signo de $f'$ es el de $-2x$:Como $f(0) = 1$, $f$ tiene un máximo relativo en $(0, 1)$ y no tiene más extremos.

Función $g$. $g'(x) = x$, que se anula solo en $x = 0$; es negativa para $x < 0$ y positiva para $x > 0$ (también $g''(x) = 1 > 0$). Como $g(0) = 0$, $g$ tiene un mínimo relativo en $(0, 0)$.

b) Puntos de corte.$$\frac{1}{1 + x^2} = \frac{x^2}{2} \;\Longleftrightarrow\; 2 = x^2(1 + x^2) \;\Longleftrightarrow\; x^4 + x^2 - 2 = 0$$Con $t = x^2$: $t^2 + t - 2 = 0$, de donde $t = 1$ o $t = -2$. Como $t = x^2 \geq 0$, solo vale $t = 1$, es decir, $x = -1$ y $x = 1$. Los puntos de corte son $\left(-1, \frac{1}{2}\right)$ y $\left(1, \frac{1}{2}\right)$.

Qué función va por encima. En $x = 0$, $f(0) = 1 > g(0) = 0$; como no hay más cortes en $(-1, 1)$, en todo ese intervalo $f \geq g$.

Área.$$A = \int_{-1}^{1} \left(\frac{1}{1 + x^2} - \frac{x^2}{2}\right) dx = \left[\operatorname{arctg} x - \frac{x^3}{6}\right]_{-1}^{1}$$$$A = \left(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{6}\right) - \left(-\frac{\pi}{4} + \frac{1}{6}\right) = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{3} \approx 1{,}2375\ \text{u}^2$$(Las dos funciones son pares, así que también se puede hacer $2\int_0^1$: da lo mismo. La integral numérica confirma $1{,}2375$.)