Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Probabilidad

Castilla-La Mancha · 2019 · Junio · Opción A

Enunciado

a) Una fábrica A produce el

30\,\%

de los tractores que se demandan en una Comunidad Autónoma, una fábrica B produce el

20\,\%

y la fábrica C el resto. El controlador de calidad sabe que son defectuosos el

4\,\%

de los tractores fabricados por A, el

10\,\%

de los fabricados por B y el

2\,\%

de los fabricados por C. Elegido un tractor al azar, calcula razonadamente la probabilidad de:

a1) No salga defectuoso. (0,75 puntos)

a2) Si resultó defectuoso, que no fuera fabricado por C. (0,5 puntos)

b) En una clase hay 16 chicas y 4 chicos. Cada día elijo a un estudiante al azar para que salga a la pizarra. Calcula razonadamente la probabilidad de que los cinco días laborables de la semana salgan a la pizarra:

b1) Tres chicas. (0,75 puntos)

b2) Al menos tres chicos. (0,5 puntos)

(Se adjunta la tabla de la distribución binomial para

n = 5

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a1)}\ P(\overline{D}) = 0{,}958 \qquad \text{a2)}\ P(\overline{C} \mid D) = \frac{16}{21} \approx 0{,}7619}

\boxed{\text{b1)}\ 0{,}2048 \qquad \text{b2)}\ P(X \geq 3) \approx 0{,}0579}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El apartado a) es el esquema típico de probabilidad total y Bayes: las tres fábricas forman una partición (sus porcentajes suman

100\,\%

) y en cada rama conocemos la probabilidad de que el tractor sea defectuoso. Con un árbol,

P(D)

es la suma de las hojas «defectuoso», y la probabilidad condicionada de a2) se saca de las mismas hojas.

En b), cada día se elige al azar entre los

20

, así que los cinco días son pruebas independientes con la misma probabilidad: es una binomial

B(5, p)

. Como la tabla solo llega a

p = 0{,}50

, conviene contar chicos (

p = \frac{4}{20} = 0{,}2

): «tres chicas» es lo mismo que «dos chicos».

Desarrollo

a) Sucesos:

A

B

C

= «fabricado por A, B, C» y

D

= «defectuoso». Datos:

P(A) = 0{,}30, \quad P(B) = 0{,}20, \quad P(C) = 1 - 0{,}30 - 0{,}20 = 0{,}50

P(D \mid A) = 0{,}04, \quad P(D \mid B) = 0{,}10, \quad P(D \mid C) = 0{,}02

Fábrica	$P(\text{fábrica})$	$P(D \mid \text{fábrica})$	$P(\text{fábrica} \cap D)$
A	$0{,}30$	$0{,}04$	$0{,}012$
B	$0{,}20$	$0{,}10$	$0{,}020$
C	$0{,}50$	$0{,}02$	$0{,}010$

a1) Por el teorema de la probabilidad total:

P(D) = 0{,}30 \cdot 0{,}04 + 0{,}20 \cdot 0{,}10 + 0{,}50 \cdot 0{,}02 = 0{,}012 + 0{,}020 + 0{,}010 = 0{,}042

P(\overline{D}) = 1 - 0{,}042 = 0{,}958

a2) Nos piden

P(\overline{C} \mid D)

. Por el teorema de Bayes,

P(C \mid D) = \frac{P(C) \cdot P(D \mid C)}{P(D)} = \frac{0{,}010}{0{,}042} = \frac{5}{21}

P(\overline{C} \mid D) = 1 - \frac{5}{21} = \frac{16}{21} \approx 0{,}7619

(Equivalentemente,

\frac{0{,}012 + 0{,}020}{0{,}042} = \frac{0{,}032}{0{,}042} = \frac{16}{21}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Cada día se elige al azar a uno de los

20

estudiantes, de forma independiente de los demás días (el mismo estudiante puede salir varias veces). Sea

X

= «número de días de la semana que sale un chico». Hay

n = 5

pruebas independientes con probabilidad de éxito

p = \frac{4}{20} = 0{,}2

constante:

X \sim B(5;\ 0{,}2)

b1) Que salgan tres chicas es que salgan dos chicos:

P(X = 2)

. En la tabla,

n = 5

k = 2

p = 0{,}20

P(X = 2) = \binom{5}{2}\,0{,}2^2\,0{,}8^3 = 10 \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}512 = 0{,}2048

b2) Al menos tres chicos:

P(X \geq 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) = 0{,}0512 + 0{,}0064 + 0{,}0003 = 0{,}0579

(Con la fórmula:

10 \cdot 0{,}008 \cdot 0{,}64 + 5 \cdot 0{,}0016 \cdot 0{,}8 + 0{,}00032 = 0{,}05792

Consejo

En a2) se pregunta por la fábrica sabiendo que es defectuoso: el denominador es $P(D)$ , no $1$ . Y «no fuera de C» se calcula por el complementario: $1 - P(C \mid D)$ .

En b) di explícitamente por qué es binomial (5 pruebas independientes, misma probabilidad). Si la tabla no llega a $p = 0{,}8$ , cuenta el suceso contrario: chicos con $p = 0{,}2$ .