Dados los puntos A(1, 2, 0), B(0, -1, 2), C(2, -1, 3) y D(1, 0, 1): a) Encuentra razonadamente la ecuación general del plano que contiene a la recta que pasa por A y B y es paralelo a la recta que pasa por C y D. (1,25 puntos) b) Calcula razonadamente el volumen del tetraedro cuyos vértices son los puntos A, B, C y D. (1,25 puntos)

Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

También trata: Áreas, volúmenes y distancias

Castilla-La Mancha · 2019 · Junio · Opción A

Enunciado

Dados los puntos

A(1, 2, 0)

B(0, -1, 2)

C(2, -1, 3)

D(1, 0, 1)

:

a) Encuentra razonadamente la ecuación general del plano que contiene a la recta que pasa por

A

B

y es paralelo a la recta que pasa por

C

D

. (1,25 puntos)

b) Calcula razonadamente el volumen del tetraedro cuyos vértices son los puntos

A

B

C

D

. (1,25 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ \pi \equiv x - y - z + 1 = 0}

\boxed{\text{b)}\ V = \frac{2}{3}\ \text{u}^3}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) el plano queda determinado por un punto (

A

) y dos vectores directores:

\overrightarrow{AB}

, porque contiene a esa recta, y

\overrightarrow{CD}

, porque es paralelo a la otra. Su producto vectorial da un vector normal, y con él y

A

sale la ecuación general.

En b) el volumen del tetraedro es la sexta parte del valor absoluto del producto mixto de tres aristas que salen del mismo vértice:

V = \frac{1}{6}\left|\left[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}\right]\right|

Desarrollo

a) Vectores directores:

\overrightarrow{AB} = B - A = (-1, -3, 2), \qquad \overrightarrow{CD} = D - C = (-1, 1, -2)

No son proporcionales, así que definen un plano. Vector normal:

\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{CD} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & -3 & 2 \\ -1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = (6 - 2)\,\vec{i} - (2 + 2)\,\vec{j} + (-1 - 3)\,\vec{k} = (4, -4, -4)

Podemos usar el proporcional

\vec{n} = (1, -1, -1)

. El plano es

x - y - z + d = 0

y pasa por

A(1, 2, 0)

1 - 2 - 0 + d = 0 \;\Longrightarrow\; d = 1

\pi \equiv x - y - z + 1 = 0

Comprobaciones.

$B(0, -1, 2)$ : $0 + 1 - 2 + 1 = 0$ , así que la recta $AB$ está contenida en $\pi$ .
$C(2, -1, 3)$ : $2 + 1 - 3 + 1 = 1 \neq 0$ , así que la recta $CD$ no está contenida en $\pi$ ; como su vector director es perpendicular a $\vec{n}$ ( $-1 - 1 + 2 = 0$ ), es paralela a $\pi$ , como se pedía.

b) Aristas desde el vértice

A

\overrightarrow{AB} = (-1, -3, 2), \qquad \overrightarrow{AC} = (1, -3, 3), \qquad \overrightarrow{AD} = (0, -2, 1)

Producto mixto, desarrollando por la primera fila:

\left[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}\right] = \begin{vmatrix} -1 & -3 & 2 \\ 1 & -3 & 3 \\ 0 & -2 & 1 \end{vmatrix} = -1\,(-3 + 6) + 3\,(1 - 0) + 2\,(-2 - 0) = -3 + 3 - 4 = -4

Como no es cero, los cuatro puntos no son coplanarios y el tetraedro existe:

V = \frac{1}{6}\,|-4| = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\ \text{u}^3

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En a) comprueba siempre que el plano contiene a $B$ y que $C$ no está en él: si estuviera, la recta $CD$ quedaría dentro del plano en vez de ser paralela.

En b) no olvides el $\frac{1}{6}$ (sin él sale el volumen del paralelepípedo) ni el valor absoluto: el producto mixto ha salido negativo y un volumen nunca lo es.