Sistemas de ecuaciones

a) Matriz de coeficientes y matriz ampliada:$$A = \begin{pmatrix} a & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -a & -1 \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} a & 2 & 0 & a^2 \\ -1 & 1 & 1 & 5 \\ 1 & -a & -1 & -(4 + a) \end{array}\right)$$Desarrollando por la primera fila:$$|A| = a\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -a & -1 \end{vmatrix} - 2\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + 0 = a(-1 + a) - 2(1 - 1) = a(a - 1)$$$$|A| = 0 \;\Longleftrightarrow\; a = 0 \ \text{ o } \ a = 1$$Caso $a \neq 0$ y $a \neq 1$. $|A| \neq 0$, luego $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 3 =$ número de incógnitas: sistema compatible determinado.

Caso $a = 0$.$$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 2 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 1 & 5 \\ 1 & 0 & -1 & -4 \end{array}\right)$$$|A| = 0$ y el menor $\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 2 \neq 0$, así que $\operatorname{rg}(A) = 2$. En la ampliada tomamos el menor de las columnas de $y$, $z$ y términos independientes:$$\begin{vmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 5 \\ 0 & -1 & -4 \end{vmatrix} = 2\,(-4 + 5) = 2 \neq 0 \;\Longrightarrow\; \operatorname{rg}(A^*) = 3$$Como $\operatorname{rg}(A) = 2 \neq 3 = \operatorname{rg}(A^*)$: sistema incompatible. Se ve también a ojo: la primera ecuación da $y = 0$, y entonces las otras dos dicen $-x + z = 5$ y $x - z = -4$, es decir, $x - z = -5$ y $x - z = -4$ a la vez.

Caso $a = 1$.$$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & 5 \\ 1 & -1 & -1 & -5 \end{array}\right)$$La tercera fila es la segunda cambiada de signo (también en el término independiente: $-5 = -1 \cdot 5$), así que $\operatorname{rg}(A^*) \leq 2$. Y el menor $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 3 \neq 0$ da $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 2 < 3$: sistema compatible indeterminado (un parámetro).b) Para $a = 1$ nos quedamos con las dos ecuaciones independientes:$$\left\{\begin{array}{l} x + 2y = 1 \\ -x + y + z = 5 \end{array}\right.$$Tomamos $y = \lambda$ como parámetro. De la primera, $x = 1 - 2\lambda$. Sustituyendo en la segunda:$$z = 5 + x - y = 5 + (1 - 2\lambda) - \lambda = 6 - 3\lambda$$Comprobación en las tres ecuaciones originales:

• $(1 - 2\lambda) + 2\lambda = 1$ ✓
• $-(1 - 2\lambda) + \lambda + (6 - 3\lambda) = 5$ ✓
• $(1 - 2\lambda) - \lambda - (6 - 3\lambda) = -5 = -(4 + 1)$ ✓

Geométricamente, los tres planos se cortan en una recta (dos de ellos son el mismo plano).