Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Integrales

También trata: Derivadas y aplicaciones

Castilla-La Mancha · 2019 · Junio · Opción A

Enunciado

a) Calcula razonadamente el área de los recintos limitados por la función

g(x) = -x^2 + 2x + 3

, la recta

x = -2

y el eje de abscisas. (1,5 puntos)

b) Encuentra razonadamente la ecuación de la recta normal a la gráfica de la función

g(x)

en el punto de abscisa

x = 4

. (1 punto)

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Resultado

\boxed{\text{a)}\ A_1 = \frac{7}{3},\ A_2 = \frac{32}{3};\quad A = 13\ \text{u}^2}

\boxed{\text{b)}\ y = \frac{x}{6} - \frac{17}{3}\ \ (x - 6y - 34 = 0)}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

g

es una parábola hacia abajo. Antes de integrar, hay que saber dónde corta al eje

X

, porque el área entre la curva y el eje cambia de signo al cruzarlo. Desde la recta

x = -2

hacia la derecha aparecen dos recintos: uno pequeño por debajo del eje (entre

x = -2

y la primera raíz) y la «cúpula» de la parábola por encima del eje (entre las dos raíces). Calculamos cada uno con Barrow, tomando el valor absoluto en el que queda por debajo, y los sumamos.

En b), la normal es perpendicular a la tangente: su pendiente es

-\frac{1}{g'(4)}

Desarrollo

a) Cortes con el eje $X$ :

-x^2 + 2x + 3 = 0 \;\Longleftrightarrow\; x^2 - 2x - 3 = 0 \;\Longleftrightarrow\; (x - 3)(x + 1) = 0 \;\Longrightarrow\; x = -1,\ x = 3

Signo de $g$ . Es una parábola con las ramas hacia abajo, así que

g < 0

fuera de las raíces y

g > 0

entre ellas. Por ejemplo,

g(-2) = -4 - 4 + 3 = -5 < 0

g(0) = 3 > 0

.

Por tanto los recintos son:

$R_1$ : entre $x = -2$ y $x = -1$ , con la parábola por debajo del eje.
$R_2$ : entre $x = -1$ y $x = 3$ , con la parábola por encima del eje.

Primitiva:

G(x) = \int \left(-x^2 + 2x + 3\right) dx = -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x

G(-2) = \frac{8}{3} + 4 - 6 = \frac{2}{3}, \qquad G(-1) = \frac{1}{3} + 1 - 3 = -\frac{5}{3}, \qquad G(3) = -9 + 9 + 9 = 9

Recinto $R_1$ (Barrow):

\int_{-2}^{-1} g(x)\,dx = G(-1) - G(-2) = -\frac{5}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{7}{3} \;\Longrightarrow\; A_1 = \frac{7}{3}\ \text{u}^2

Recinto $R_2$ :

A_2 = \int_{-1}^{3} g(x)\,dx = G(3) - G(-1) = 9 + \frac{5}{3} = \frac{32}{3}\ \text{u}^2

Área total:

A = A_1 + A_2 = \frac{7}{3} + \frac{32}{3} = \frac{39}{3} = 13\ \text{u}^2

(Si se integrara directamente de

-2

3

sin partir saldría

\frac{32}{3} - \frac{7}{3} = \frac{25}{3}

, que no es un área: los tramos se restan.)

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b) Punto de la gráfica:

g(4) = -16 + 8 + 3 = -5 \;\Longrightarrow\; P(4, -5)

Pendiente de la tangente:

g'(x) = -2x + 2 \;\Longrightarrow\; g'(4) = -6

La normal es perpendicular a la tangente, así que su pendiente es

m_N = -\frac{1}{g'(4)} = -\frac{1}{-6} = \frac{1}{6}

Ecuación punto-pendiente:

y + 5 = \frac{1}{6}(x - 4) \;\Longrightarrow\; y = \frac{x}{6} - \frac{17}{3} \;\Longleftrightarrow\; x - 6y - 34 = 0

Comprobación: el punto

(4, -5)

cumple

4 + 30 - 34 = 0

. ✓

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Consejo

Antes de integrar, busca los cortes con el eje dentro del intervalo y parte la integral en ellos. Integrar de $-2$ a $3$ de una vez da $\frac{25}{3}$ , porque el trozo de abajo resta: es el error más penalizado en este tipo de ejercicio.

En la normal, la pendiente es $-1/g'(a)$ , no $g'(a)$ ni $1/g'(a)$ : cuidado con el doble signo.