Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Castilla-La Mancha · 2019 · Junio · Opción A

Enunciado

a) Determina el valor de

a

y de

b

para que la siguiente función

f(x)

sea derivable en todo

\mathbb{R}

(1,5 puntos)

f(x) = \begin{cases} ax^2 + bx + 2 & \text{si } x \leqslant 1 \\[2mm] a\sqrt{x} - \dfrac{b}{x^2} & \text{si } x > 1 \end{cases}

b) Comprueba si la función

f(x) = x^2 - 4

verifica las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo

[-3, 3]

. (1 punto)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ a = -\frac{2}{3}, \quad b = -1}

\boxed{\text{b)}\ \text{Sí: continua y derivable (polinomio) y } f(-3) = f(3) = 5;\ c = 0}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) cada trozo, por separado, no da problemas: el de la izquierda es un polinomio y el de la derecha solo tiene

\sqrt{x}

\frac{1}{x^2}

, que son derivables para

x > 1

. Todo se juega en el punto de empalme

x = 1

. Para ser derivable ahí, la función tiene que ser continua (los dos trozos llegan al mismo valor) y además las derivadas laterales tienen que coincidir. Son dos condiciones para dos incógnitas: un sistema.

En b) solo hay que repasar las tres hipótesis de Rolle: continua en el cerrado, derivable en el abierto y mismo valor en los extremos. Al ser un polinomio par, todo encaja enseguida.

Desarrollo

a) Para

x < 1

f

es un polinomio, y para

x > 1

es suma de

a\sqrt{x}

(derivable si

x > 0

) y

-\frac{b}{x^2}

(derivable si

x \neq 0

): en ambos tramos es derivable para cualquier

a

b

. Falta estudiar

x = 1

.

Continuidad en $x = 1$ .

f(1) = \lim_{x \to 1^-} f(x) = a + b + 2, \qquad \lim_{x \to 1^+} f(x) = a\sqrt{1} - \frac{b}{1} = a - b

Igualando:

a + b + 2 = a - b \;\Longrightarrow\; 2b = -2 \;\Longrightarrow\; b = -1

Derivadas laterales en $x = 1$ . Derivamos cada trozo:

f'(x) = \begin{cases} 2ax + b & \text{si } x < 1 \\[2mm] \dfrac{a}{2\sqrt{x}} + \dfrac{2b}{x^3} & \text{si } x > 1 \end{cases}

f'(1^-) = 2a + b, \qquad f'(1^+) = \frac{a}{2} + 2b

Igualando:

2a + b = \frac{a}{2} + 2b \;\Longrightarrow\; \frac{3a}{2} = b

Con

b = -1

\frac{3a}{2} = -1 \;\Longrightarrow\; a = -\frac{2}{3}

Comprobación. Con

a = -\frac{2}{3}

b = -1

Valores: $-\frac{2}{3} - 1 + 2 = \frac{1}{3}$ por la izquierda y $-\frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3}$ por la derecha. ✓
Derivadas: $2\left(-\frac{2}{3}\right) - 1 = -\frac{7}{3}$ por la izquierda y $-\frac{1}{3} - 2 = -\frac{7}{3}$ por la derecha. ✓

Así que

f

es derivable en todo

\mathbb{R}

si y solo si

a = -\frac{2}{3}

b = -1

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Comprobamos las hipótesis del teorema de Rolle para

f(x) = x^2 - 4

[-3, 3]

Continuidad en $[-3, 3]$ : $f$ es un polinomio, luego es continua en todo $\mathbb{R}$ y, en particular, en $[-3, 3]$ . ✓
Derivabilidad en $(-3, 3)$ : por ser un polinomio es derivable en todo $\mathbb{R}$ , con $f'(x) = 2x$ . ✓
Mismo valor en los extremos:

f(-3) = 9 - 4 = 5, \qquad f(3) = 9 - 4 = 5 \;\Longrightarrow\; f(-3) = f(3)

✓

Se verifican las tres hipótesis, así que el teorema de Rolle garantiza que existe al menos un

c \in (-3, 3)

con

f'(c) = 0

. En efecto,

f'(c) = 2c = 0

c = 0 \in (-3, 3)

: el vértice de la parábola.

Consejo

En a) no basta con igualar las derivadas: primero hay que imponer la continuidad, porque una función que no es continua en un punto tampoco es derivable en él. Son dos ecuaciones y las dos puntúan.

Al derivar $-\frac{b}{x^2} = -b\,x^{-2}$ sale $+\frac{2b}{x^3}$ : es fácil perder el signo. En b), escribe las tres hipótesis una a una; decir solo «es un polinomio» no las cubre todas.