Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Probabilidad

También trata: Distribución normal

Castilla-La Mancha · 2019 · Julio · Opción B

Enunciado

a) En la sala de pediatría de un hospital el

70\,\%

de los pacientes son niñas. De los niños el

40\,\%

son menores de 36 meses y de las niñas el

30\,\%

tienen menos de 36 meses. Un pediatra entra en la sala y selecciona un paciente al azar. Calcula razonadamente la probabilidad de:

a1) (0,75 puntos) Que no tenga menos de 36 meses.

a2) (0,5 puntos) Si el paciente resulta ser menor de 36 meses, que sea niña.

b) En una de las pruebas de acceso al cuerpo de ingenieros de la Administración Pública se realiza un test de 100 ítems a 450 opositores. Cada ítem vale un punto y se supera la prueba si se obtienen al menos 75 puntos. Suponiendo que las puntuaciones obtenidas por los opositores siguen una distribución normal de media 60 puntos y desviación típica 10 puntos, calcula razonadamente:

b1) (0,75 puntos) La probabilidad de obtener 75 o más puntos.

b2) (0,5 puntos) El número de opositores que obtuvieron menos de 75 puntos.

(Se adjunta la tabla de la distribución normal)

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Resultado

\boxed{\text{a1) } P(\overline{M}) = 0{,}67 \qquad \text{a2) } P(\text{niña} \mid M) = \frac{7}{11} \approx 0{,}6364}

\boxed{\text{b1) } P(X \geq 75) = 0{,}0668 \qquad \text{b2) } \approx 420 \text{ opositores}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) el paciente se elige en dos «etapas»: primero es niño o niña y, según eso, tiene una probabilidad distinta de ser menor de 36 meses. Es un diagrama de árbol: la probabilidad de un resultado final se calcula con el teorema de la probabilidad total, y la pregunta «sabiendo que es menor de 36 meses, ¿es niña?» va al revés del árbol, así que es Bayes.

En b) la puntuación

X

sigue una

N(60, 10)

. Tipificamos con

Z = \frac{X - 60}{10}

para usar la tabla de la

N(0, 1)

, que da

P(Z \leq z)

. En b2) multiplicamos la probabilidad por el número de opositores.

Desarrollo

a) Sucesos:

A

= «es niña»,

O

= «es niño»,

M

= «es menor de 36 meses». Datos:

P(A) = 0{,}7, \quad P(O) = 0{,}3, \quad P(M \mid O) = 0{,}4, \quad P(M \mid A) = 0{,}3

	$M$ (menor de 36 meses)	$\overline{M}$	Total
Niño	$0{,}3 \cdot 0{,}4 = 0{,}12$	$0{,}3 \cdot 0{,}6 = 0{,}18$	$0{,}30$
Niña	$0{,}7 \cdot 0{,}3 = 0{,}21$	$0{,}7 \cdot 0{,}7 = 0{,}49$	$0{,}70$
Total	$0{,}33$	$0{,}67$	$1$

a1) Por el teorema de la probabilidad total:

P(M) = P(O)\,P(M \mid O) + P(A)\,P(M \mid A) = 0{,}3 \cdot 0{,}4 + 0{,}7 \cdot 0{,}3 = 0{,}12 + 0{,}21 = 0{,}33

P(\overline{M}) = 1 - P(M) = 1 - 0{,}33 = 0{,}67

a2) Por el teorema de Bayes:

P(A \mid M) = \frac{P(A)\,P(M \mid A)}{P(M)} = \frac{0{,}21}{0{,}33} = \frac{7}{11} \approx 0{,}6364

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b) Sea

X

= puntuación de un opositor,

X \sim N(60, 10)

.

b1) Tipificando:

P(X \geq 75) = P\left(Z \geq \frac{75 - 60}{10}\right) = P(Z \geq 1{,}5) = 1 - P(Z < 1{,}5) = 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668

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b2) La probabilidad de obtener menos de 75 puntos es

P(X < 75) = P(Z < 1{,}5) = 0{,}9332

El número esperado de opositores con menos de 75 puntos es

450 \cdot 0{,}9332 = 419{,}94 \approx 420 \ \text{opositores}

(Equivalentemente, superan la prueba unos

450 \cdot 0{,}0668 \approx 30

opositores, y

450 - 30 = 420

Consejo

En a1) «no tener menos de 36 meses» es el contrario de $M$ : calcula primero $P(M)$ con la probabilidad total y resta de 1. En a2) la condición («es menor de 36 meses») va al denominador: es Bayes, no $P(M \mid A) = 0{,}3$ .

En b) la tabla da $P(Z \leq z)$ : para «75 o más» hay que restar de 1. Y en b2) el resultado es un número de personas: redondéalo a un entero.