a) (1,5 puntos) Dados los vectores \vec{u} = (-1, 0, -2), \vec{v} = (a, b, 1) y \vec{w} = (2, 5, c), halla razonadamente el valor de a, b y c para que los vectores \vec{u} y \vec{v} sean ortogonales y para que el vector \vec{w} sea igual al producto vectorial de \vec{u} y \vec{v}. b) (1 punto) Determina razonadamente las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto P(-1, 3, 1) y es perpendicular al plano \pi \equiv x + y + 2z - 3 = 0. Comprueba si los puntos Q(1, 5, 5) y R(0, 4, 2) pertenecen o no a la recta.

Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Vectores y ángulos

También trata: Rectas y planos

Castilla-La Mancha · 2019 · Julio · Opción B

Enunciado

a) (1,5 puntos) Dados los vectores

\vec{u} = (-1, 0, -2)

\vec{v} = (a, b, 1)

\vec{w} = (2, 5, c)

, halla razonadamente el valor de

a

b

c

para que los vectores

\vec{u}

\vec{v}

sean ortogonales y para que el vector

\vec{w}

sea igual al producto vectorial de

\vec{u}

\vec{v}

.

b) (1 punto) Determina razonadamente las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto

P(-1, 3, 1)

y es perpendicular al plano

\pi \equiv x + y + 2z - 3 = 0

. Comprueba si los puntos

Q(1, 5, 5)

R(0, 4, 2)

pertenecen o no a la recta.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) } a = -2,\ b = 1,\ c = -1}

\boxed{\text{b) } x = -1 + \lambda,\ y = 3 + \lambda,\ z = 1 + 2\lambda;\quad Q \in r \ (\lambda = 2),\ R \notin r}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) traducimos cada condición a ecuaciones: «ortogonales» significa producto escalar nulo, y «

\vec{w} = \vec{u} \times \vec{v}

» da tres ecuaciones, una por coordenada. Resolvemos el sistema y comprobamos que todas las condiciones encajan.

En b) una recta perpendicular a un plano tiene como dirección el vector normal del plano, que se lee en los coeficientes de

x

y

z

. Para ver si un punto está en la recta, buscamos un valor del parámetro que dé sus tres coordenadas a la vez.

Desarrollo

a) Ortogonalidad:

\vec{u} \cdot \vec{v} = (-1)\,a + 0 \cdot b + (-2) \cdot 1 = -a - 2 = 0 \;\Longrightarrow\; a = -2

Producto vectorial:

\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 0 & -2 \\ a & b & 1 \end{vmatrix} = \bigl(0 \cdot 1 - (-2)\,b,\ \ (-2)\,a - (-1) \cdot 1,\ \ (-1)\,b - 0 \cdot a\bigr) = (2b,\ 1 - 2a,\ -b)

Igualando a

\vec{w} = (2, 5, c)

\left\{\begin{array}{l} 2b = 2 \\ 1 - 2a = 5 \\ -b = c \end{array}\right. \;\Longrightarrow\; b = 1, \quad a = -2, \quad c = -1

La segunda ecuación da

a = -2

, el mismo valor que exige la ortogonalidad, así que las condiciones son compatibles.

Comprobación: con

\vec{v} = (-2, 1, 1)

\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 + 0 - 2 = 0

✓ y

\vec{u} \times \vec{v} = (0 + 2,\ 4 + 1,\ -1 - 0) = (2, 5, -1) = \vec{w}

✓.

b) El vector normal de

\pi

\vec{n} = (1, 1, 2)

; como la recta es perpendicular al plano, lo tomamos como vector director. Con el punto

P(-1, 3, 1)

r \equiv \left\{\begin{array}{l} x = -1 + \lambda \\ y = 3 + \lambda \\ z = 1 + 2\lambda \end{array}\right. \qquad \lambda \in \mathbb{R}

Punto $Q(1, 5, 5)$ : de

x

-1 + \lambda = 1 \Rightarrow \lambda = 2

. Con

\lambda = 2

y = 3 + 2 = 5

✓ y

z = 1 + 4 = 5

✓. $Q$ pertenece a la recta.

Punto $R(0, 4, 2)$ : de

x

-1 + \lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 1

. Con

\lambda = 1

y = 4

✓, pero

z = 1 + 2 = 3 \neq 2

. $R$ no pertenece a la recta.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El producto vectorial se descompone con cuidado: la coordenada central lleva un signo menos delante del menor. Un fallo ahí da $a = 3$ en vez de $-2$ y choca con la ortogonalidad.

Para ver si un punto está en una recta, el parámetro tiene que ser el mismo en las tres coordenadas: con $R$ , $x$ e $y$ dan $\lambda = 1$ , pero $z$ pediría $\lambda = \frac{1}{2}$ .