Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

También trata: Determinantes

Castilla-La Mancha · 2019 · Julio · Opción B

Enunciado

Dadas las matrices

A = \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a \\ 1 & 0 & a + 2 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

a) (1 punto) Calcula razonadamente el rango de la matriz

A

según los valores del parámetro

a \in \mathbb{R}

.

b) (1,5 puntos) Para

a = 1

calcula razonadamente la matriz

X

que verifica que

X \cdot A = B - X

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) } a \neq 0, -2: \ \operatorname{rg} A = 3; \qquad a = 0 \text{ o } a = -2: \ \operatorname{rg} A = 2}

\boxed{\text{b) } X = B\,(A+I)^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{3}{8} & 0 & \frac{1}{4} \\[1mm] \frac{1}{16} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{8} \end{pmatrix}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a)

A

es cuadrada de orden 3: su rango es 3 exactamente cuando

|A| \neq 0

. Calculamos el determinante en función de

a

, buscamos los valores que lo anulan y, en cada uno de ellos, buscamos un menor de orden 2 no nulo para ver si el rango es 2 (o menos).

En b) despejamos

X

como en una ecuación normal, pero respetando el orden de los productos: pasamos

X

al primer miembro y sacamos factor común por la izquierda,

X\,(A + I) = B

. Si

A + I

es invertible, multiplicamos por la derecha por su inversa. Ojo con las dimensiones:

B

2 \times 3

, así que

X

también lo será.

Desarrollo

a) Desarrollando por la primera fila (que tiene dos ceros):

|A| = \begin{vmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a \\ 1 & 0 & a + 2 \end{vmatrix} = a \cdot \begin{vmatrix} 1 & a \\ 0 & a + 2 \end{vmatrix} = a\,(a + 2)

|A| = 0 \Longleftrightarrow a = 0

a = -2

Si $a \neq 0$ y $a \neq -2$ : $|A| \neq 0$ , luego $\operatorname{rg} A = 3$ .
Si $a = 0$ : $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ . El menor de las filas 2 y 3 y las columnas 1 y 2 vale $\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$ , luego $\operatorname{rg} A = 2$ .
Si $a = -2$ : $A = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ . El menor de las filas 1 y 2 y las columnas 1 y 2 vale $\begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -2 \neq 0$ , luego $\operatorname{rg} A = 2$ .

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Despejamos

X

X A = B - X \;\Longrightarrow\; X A + X = B \;\Longrightarrow\; X\,(A + I) = B \;\Longrightarrow\; X = B\,(A + I)^{-1}

siempre que

A + I

sea invertible. Para

a = 1

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}, \qquad A + I = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 4 \end{pmatrix}

|A + I| = 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} = 2 \cdot 8 = 16 \neq 0

así que

A + I

es invertible. Sus adjuntos son

\begin{array}{lll} C_{11} = 8, & C_{12} = -(0 - 1) = 1, & C_{13} = 0 - 2 = -2, \\ C_{21} = -(0 - 0) = 0, & C_{22} = 8 - 0 = 8, & C_{23} = -(0 - 0) = 0, \\ C_{31} = 0 - 0 = 0, & C_{32} = -(2 - 0) = -2, & C_{33} = 4 - 0 = 4 \end{array}

La inversa es la traspuesta de la matriz de adjuntos dividida por el determinante:

(A + I)^{-1} = \frac{1}{16}\begin{pmatrix} 8 & 0 & 0 \\ 1 & 8 & -2 \\ -2 & 0 & 4 \end{pmatrix}

Multiplicamos (

2 \times 3

por

3 \times 3

2 \times 3

X = B\,(A + I)^{-1} = \frac{1}{16}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 8 & 0 & 0 \\ 1 & 8 & -2 \\ -2 & 0 & 4 \end{pmatrix} = \frac{1}{16}\begin{pmatrix} 6 & 0 & 4 \\ 1 & 8 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{8} & 0 & \frac{1}{4} \\[1mm] \frac{1}{16} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{8} \end{pmatrix}

Comprobación.

X\,(A + I) = \dfrac{1}{16}\begin{pmatrix} 6 & 0 & 4 \\ 1 & 8 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 4 \end{pmatrix} = \dfrac{1}{16}\begin{pmatrix} 16 & 0 & 16 \\ 0 & 16 & 0 \end{pmatrix} = B

✓.

Consejo

Al sacar factor común, $XA + X = X\,(A + I)$ : la identidad es imprescindible (no se puede escribir $A + 1$ ) y $X$ queda a la izquierda, así que la inversa se multiplica por la derecha: $X = B\,(A + I)^{-1}$ , no $(A + I)^{-1}B$ , que además ni siquiera se puede multiplicar.

Comprueba siempre el resultado multiplicando: es rápido y detecta un adjunto con el signo mal.