Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Castilla-La Mancha · 2019 · Julio · Opción B

Enunciado

Calcula razonadamente las siguientes integrales:

a)

\displaystyle\int_0^1 (x + 1)\,e^{-x}\,dx

\qquad

\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{x}\,(1 + x)}\,dx

\qquad

(1,25 puntos por integral)

Nota: En la integral b) puede ayudarte hacer el cambio de variable

t = \sqrt{x}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) } \int_0^1 (x+1)\,e^{-x}\,dx = 2 - \frac{3}{e} \approx 0{,}896}

\boxed{\text{b) } \int \frac{dx}{\sqrt{x}\,(1+x)} = 2\operatorname{arctg}\sqrt{x} + C}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) tenemos un polinomio por una exponencial: es el caso típico de integración por partes, derivando el polinomio (

u = x + 1

, que se convierte en una constante) e integrando la exponencial. Después, Barrow entre

0

1

.

En b) la raíz estorba. Con el cambio que sugiere el enunciado,

t = \sqrt{x}

(es decir,

x = t^2

), la raíz desaparece y queda la integral inmediata del arco tangente. Al final hay que deshacer el cambio y, como es indefinida, añadir la constante.

Desarrollo

a) Por partes:

u = x + 1 \;\Rightarrow\; du = dx, \qquad dv = e^{-x}\,dx \;\Rightarrow\; v = -e^{-x}

\int (x + 1)\,e^{-x}\,dx = -(x + 1)\,e^{-x} - \int \left(-e^{-x}\right)dx = -(x + 1)\,e^{-x} - e^{-x} + C = -(x + 2)\,e^{-x} + C

Comprobación:

\left[-(x + 2)\,e^{-x}\right]' = -e^{-x} + (x + 2)\,e^{-x} = (x + 1)\,e^{-x}

✓.

Aplicamos la regla de Barrow (el integrando es continuo en

[0, 1]

\int_0^1 (x + 1)\,e^{-x}\,dx = \Bigl[-(x + 2)\,e^{-x}\Bigr]_0^1 = -3\,e^{-1} - \left(-2\,e^{0}\right) = 2 - \frac{3}{e} \approx 0{,}896

Es positivo, como debe ser, porque el integrando es positivo en

[0, 1]

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) La integral tiene sentido para

x > 0

. Hacemos el cambio

t = \sqrt{x}

, con

t > 0

x = t^2 \;\Rightarrow\; dx = 2t\,dt

\int \frac{1}{\sqrt{x}\,(1 + x)}\,dx = \int \frac{2t\,dt}{t\,(1 + t^2)} = \int \frac{2}{1 + t^2}\,dt = 2\operatorname{arctg} t + C

Deshaciendo el cambio:

\int \frac{1}{\sqrt{x}\,(1 + x)}\,dx = 2\operatorname{arctg}\sqrt{x} + C

Comprobación: por la regla de la cadena,

\left(2\operatorname{arctg}\sqrt{x}\right)' = 2 \cdot \frac{1}{1 + (\sqrt{x})^2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}\,(1 + x)}

que es el integrando ✓.

Consejo

En a) cuidado con los signos: la primitiva de $e^{-x}$ es $-e^{-x}$ , y el menos aparece dos veces. Derivar tu primitiva al final (diez segundos) detecta casi todos los errores.

En b) no olvides cambiar también el $dx$ ( $dx = 2t\,dt$ ), deshacer el cambio y poner la constante $C$ : en una integral indefinida, olvidarla suele costar puntos.