Probabilidad

a1) Si A y B son independientes:$$P(A \cap B) = P(A)\,P(B) = 0{,}75 \cdot 0{,}35 = 0{,}2625$$$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0{,}75 + 0{,}35 - 0{,}2625 = 0{,}8375$$a2) Por la definición de probabilidad condicionada, $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$, luego$$P(A \cap B) = P(A \mid B)\,P(B) = 0{,}6 \cdot 0{,}35 = 0{,}21$$$$P(A \cup B) = 0{,}75 + 0{,}35 - 0{,}21 = 0{,}89$$(En este caso A y B no son independientes, porque $P(A \mid B) = 0{,}6 \neq P(A) = 0{,}75$.)

b1) Sea $X$ = número de cheques sin fondos entre los cinco recibidos en una hora. Cada cheque es un ensayo independiente con dos resultados y probabilidad de «sin fondos» constante, así que$$X \sim B(n = 5,\ p = 0{,}01)$$«Algún cheque sin fondos» es $X \geq 1$, el contrario de $X = 0$:$$P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}99^5 = 1 - 0{,}9510 = 0{,}0490 \approx 0{,}05$$($P(X = 0) = 0{,}9510$ es también el valor de la tabla para $n = 5$, $k = 0$, $p = 0{,}01$.)

b2) Suponemos, como en b1, que cada sucursal recibe cinco cheques en esa hora y que las sucursales son independientes. Entonces cada sucursal «recibe algún cheque sin fondos» con probabilidad $0{,}05$ (el resultado de b1 redondeado). Sea $Y$ = número de sucursales, de las cinco, que reciben algún cheque sin fondos:$$Y \sim B(n = 5,\ p = 0{,}05)$$$$P(Y \geq 3) = P(Y = 3) + P(Y = 4) + P(Y = 5)$$Con la tabla ($n = 5$, $p = 0{,}05$):$$P(Y \geq 3) = 0{,}0011 + 0{,}0000 + 0{,}0000 = 0{,}0011$$Calculándolo con la fórmula, $P(Y = 3) = \binom{5}{3}\,0{,}05^3\,0{,}95^2 = 10 \cdot 0{,}000125 \cdot 0{,}9025 \approx 0{,}00113$, y los otros dos términos son del orden de $3 \cdot 10^{-5}$ y $3 \cdot 10^{-7}$: el total es $\approx 0{,}0012$. La pequeña diferencia con la tabla se debe al redondeo de sus valores a cuatro decimales. En cualquier caso, es un suceso muy poco probable (alrededor de un 0,1 %).