Rectas y planos

Datos. De $r$: punto $P_r = (1, 0, 0)$ y vector director $\vec{d} = (-1, 1, 2)$.

De $\pi$: punto $P_\pi = (1, 0, -1)$ y vectores directores $\vec{u} = (1, 1, 2)$ (coeficientes de $\lambda$) y $\vec{v} = (1, -1, 0)$ (coeficientes de $\mu$). Su vector normal:$$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = (0 + 2,\ 2 - 0,\ -1 - 1) = (2, 2, -2)$$Tomamos $\vec{n} = (1, 1, -1)$. Ecuación general de $\pi$ por $P_\pi$:$$1\,(x - 1) + 1\,(y - 0) - 1\,(z + 1) = 0 \;\Longrightarrow\; \pi \equiv x + y - z - 2 = 0$$a) Producto escalar del director de $r$ con el normal de $\pi$:$$\vec{d} \cdot \vec{n} = (-1)\cdot 1 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) = -2 \neq 0$$La recta no es paralela al plano: $r$ y $\pi$ son secantes (se cortan en un único punto).

Aunque no se pide, hallamos el punto de corte. Los puntos de $r$ son $(1 - t,\ t,\ 2t)$; sustituyendo en $\pi$:$$(1 - t) + t - 2t - 2 = 0 \;\Longrightarrow\; -1 - 2t = 0 \;\Longrightarrow\; t = -\tfrac{1}{2}$$El punto de corte es $\left(\tfrac{3}{2}, -\tfrac{1}{2}, -1\right)$ (comprobación: $\tfrac{3}{2} - \tfrac{1}{2} + 1 - 2 = 0$ ✓).

b) El plano $\sigma$ buscado pasa por $P_r = (1, 0, 0)$ y tiene como vectores directores $\vec{d} = (-1, 1, 2)$ (contiene a $r$) y $\vec{n} = (1, 1, -1)$ (es perpendicular a $\pi$). Como $\vec{d}$ y $\vec{n}$ no son proporcionales, determinan un único plano. Su normal:$$\vec{d} \times \vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = (-1 - 2,\ 2 - 1,\ -1 - 1) = (-3, 1, -2)$$Tomamos $(3, -1, 2)$ y el punto $(1, 0, 0)$:$$3\,(x - 1) - 1\,(y - 0) + 2\,(z - 0) = 0 \;\Longrightarrow\; \sigma \equiv 3x - y + 2z - 3 = 0$$Comprobación. $(3, -1, 2) \cdot (1, 1, -1) = 3 - 1 - 2 = 0$, luego $\sigma \perp \pi$ ✓. $(3, -1, 2) \cdot (-1, 1, 2) = -3 - 1 + 4 = 0$ y $P_r$ cumple $3 - 0 + 0 - 3 = 0$, luego $r \subset \sigma$ ✓.