Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Castilla-La Mancha · 2019 · Julio · Opción A

Enunciado

a) (1,5 puntos) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro

a \in \mathbb{R}

\left\{\begin{array}{rcrcrcr} x & - & (a - 2)y & - & z & = & 1 \\ x & - & 2y & + & z & = & -4 \\ x & - & 3y & + & az & = & -a^2 \end{array}\right.

b) (1 punto) Resuélvelo razonadamente para el valor

a = 3

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) } a \neq 2, 3: \text{ S.C.D.}; \quad a = 2: \text{ S.I.}; \quad a = 3: \text{ S.C.I.}}

\boxed{\text{b) } (x, y, z) = (6 + 3\lambda,\ 5 + 2\lambda,\ \lambda),\ \lambda \in \mathbb{R}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es la discusión clásica por Rouché-Frobenius: comparamos el rango de la matriz de coeficientes

A

con el de la ampliada

A^*

. Primero calculamos

|A|

en función de

a

: donde no se anula, el rango es 3 y el sistema es compatible determinado. Los valores que anulan el determinante se estudian uno a uno, sustituyendo

a

y calculando los rangos.

En b),

a = 3

resulta ser uno de los valores especiales (el sistema tendrá infinitas soluciones), así que hay que quedarse con dos ecuaciones independientes y dar la solución en función de un parámetro.

Desarrollo

a) Las matrices de coeficientes y ampliada son

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 - a & -1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & -3 & a \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 - a & -1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & -4 \\ 1 & -3 & a & -a^2 \end{array}\right)

Restando la primera fila a la segunda y a la tercera (el determinante no cambia):

|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 - a & -1 \\ 0 & a - 4 & 2 \\ 0 & a - 5 & a + 1 \end{vmatrix} = (a - 4)(a + 1) - 2(a - 5) = a^2 - 5a + 6 = (a - 2)(a - 3)

|A| = 0 \Longleftrightarrow a = 2

a = 3

.

Caso $a \neq 2$ y $a \neq 3$ .

|A| \neq 0

, luego

\operatorname{rg} A = \operatorname{rg} A^* = 3 =

número de incógnitas: sistema compatible determinado (solución única).

Caso $a = 2$ .

A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & -4 \\ 1 & -3 & 2 & -4 \end{array}\right)

El menor

\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -2 \neq 0

, así que

\operatorname{rg} A = 2

. En la ampliada, el menor formado por las columnas 1, 2 y 4:

\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & -4 \\ 1 & -3 & -4 \end{vmatrix} = 1\,(8 - 12) - 0 + 1\,(-3 + 2) = -4 - 1 = -5 \neq 0

luego

\operatorname{rg} A^* = 3 \neq \operatorname{rg} A

: sistema incompatible (sin solución). Como ningún par de planos es paralelo (sus vectores normales no son proporcionales), los tres planos se cortan dos a dos formando un prisma triangular.

Caso $a = 3$ .

A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & -4 \\ 1 & -3 & 3 & -9 \end{array}\right) \xrightarrow[F_3 - F_1]{F_2 - F_1} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 2 & -5 \\ 0 & -2 & 4 & -10 \end{array}\right) \xrightarrow{F_3 - 2F_2} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 2 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)

Queda

\operatorname{rg} A = \operatorname{rg} A^* = 2 < 3

: sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones, dependientes de

3 - 2 = 1

parámetro). Geométricamente, los tres planos se cortan en una recta.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Con

a = 3

, del sistema escalonado anterior quedan dos ecuaciones:

\left\{\begin{array}{l} x - y - z = 1 \\ -y + 2z = -5 \end{array}\right.

Tomamos

z = \lambda

como parámetro. De la segunda,

y = 5 + 2\lambda

, y de la primera,

x = 1 + y + z = 1 + 5 + 2\lambda + \lambda = 6 + 3\lambda

(x, y, z) = (6 + 3\lambda,\ 5 + 2\lambda,\ \lambda), \qquad \lambda \in \mathbb{R}

Comprobación en las tres ecuaciones originales con

a = 3

$(6 + 3\lambda) - (5 + 2\lambda) - \lambda = 1$ ✓
$(6 + 3\lambda) - 2(5 + 2\lambda) + \lambda = -4$ ✓
$(6 + 3\lambda) - 3(5 + 2\lambda) + 3\lambda = -9 = -3^2$ ✓

Consejo

Cuidado con el signo del primer coeficiente: $-(a - 2)y$ es $(2 - a)y$ . Un signo mal copiado cambia el determinante y estropea toda la discusión.

En los valores que anulan $|A|$ no basta con decir «el determinante es cero»: calcula los dos rangos y nómbralos (Rouché-Frobenius). En b) da la solución con su parámetro y compruébala.