a) (1,5 puntos) Calcula razonadamente el área del recinto cerrado limitado por las gráficas de las funciones f(x) = 16 - x^2 y g(x) = (x + 2)^2 - 4. b) (1 punto) Encuentra razonadamente la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f(x) = 16 - x^2 en el punto de abscisa x = 1.

Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Integrales

También trata: Derivadas y aplicaciones

Castilla-La Mancha · 2019 · Julio · Opción A

Enunciado

a) (1,5 puntos) Calcula razonadamente el área del recinto cerrado limitado por las gráficas de las funciones

f(x) = 16 - x^2

g(x) = (x + 2)^2 - 4

.

b) (1 punto) Encuentra razonadamente la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función

f(x) = 16 - x^2

en el punto de abscisa

x = 1

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) } A = \int_{-4}^{2}\left(16 - 4x - 2x^2\right)dx = 72\ \text{u}^2}

\boxed{\text{b) } y = -2x + 17}

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Estrategia

En a) las dos gráficas son parábolas:

f

abre hacia abajo con vértice en

(0, 16)

g

abre hacia arriba con vértice en

(-2, -4)

. Encierran una región entre sus dos puntos de corte. El camino es el de siempre: igualar para hallar los cortes, ver qué función va por encima entre ellos e integrar la diferencia «la de arriba menos la de abajo» con la regla de Barrow.

En b) la recta tangente en

x = a

y - f(a) = f'(a)(x - a)

: basta con calcular

f(1)

y la pendiente

f'(1)

Desarrollo

a) Desarrollamos

g

g(x) = x^2 + 4x + 4 - 4 = x^2 + 4x

.

Puntos de corte.

16 - x^2 = x^2 + 4x \;\Longrightarrow\; 2x^2 + 4x - 16 = 0 \;\Longrightarrow\; x^2 + 2x - 8 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2}

es decir,

x = -4

x = 2

(puntos

(-4, 0)

(2, 12)

).

Qué función va por encima. En un punto intermedio, por ejemplo

x = 0

f(0) = 16 > g(0) = 0

. Como entre

-4

2

las gráficas no se cortan,

f \geq g

en todo

[-4, 2]

.

Área.

A = \int_{-4}^{2} \bigl(f(x) - g(x)\bigr)\,dx = \int_{-4}^{2} \left(16 - 4x - 2x^2\right)dx = \left[16x - 2x^2 - \frac{2x^3}{3}\right]_{-4}^{2}

= \left(32 - 8 - \frac{16}{3}\right) - \left(-64 - 32 + \frac{128}{3}\right) = \frac{56}{3} - \left(-\frac{160}{3}\right) = \frac{216}{3} = 72

Comprobación. Para dos parábolas cuya diferencia es

k\,(x - x_1)(x - x_2)

, el área encerrada vale

\frac{|k|\,(x_2 - x_1)^3}{6}

. Aquí

f - g = -2(x + 4)(x - 2)

, así que

A = \frac{2 \cdot 6^3}{6} = 72

✓.

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f(1) = 16 - 1 = 15

, luego el punto de tangencia es

(1, 15)

. La derivada es

f'(x) = -2x

, así que la pendiente es

f'(1) = -2

. La recta tangente:

y - 15 = -2\,(x - 1) \;\Longrightarrow\; y = -2x + 17

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Consejo

Antes de integrar, comprueba qué función va por encima con un punto intermedio: si lo haces al revés te sale $-72$ , y un área negativa es un error que penalizan aunque luego quites el signo.

Desarrolla $g(x) = (x + 2)^2 - 4 = x^2 + 4x$ antes de igualar: simplifica mucho las cuentas. Y el área lleva unidades: $72\ \text{u}^2$ .