Matemáticas IIFácil2 pts

Integrales

Cataluña · 2019 · Junio
Enunciado
Considere las funciones f(x)=x2f(x) = x^2 y g(x)=1xg(x) = \dfrac{1}{x}, y la recta x=ex = \mathrm{e}.

a) Haga un esbozo de la región delimitada por sus gráficas y el eje de abscisas. Calcule las coordenadas del punto de intersección de y=f(x)y = f(x) con y=g(x)y = g(x).

[1 punto]

b) Calcule el área de la región descrita en el apartado anterior.

[1 punto]
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Resultado
a) Las gráficas de ff y gg se cortan en el punto (1,1)(1, 1).

b)  Aˊrea=∫01x2 dx+∫1e1x dx=43 u2  \boxed{\;\text{Área} = \int_0^1 x^2\,dx + \int_1^{e} \frac{1}{x}\,dx = \frac{4}{3}\ \text{u}^2\;}
Ver la solución oficialla corrección de la PAU, con los puntos de cada paso

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.
a) No es necesario hacer un estudio exhaustivo de cada gráfica. Podemos hacer el esbozo directamente.
Gráficas de y = x² y de y = 1/x y la recta vertical x = e; la región rayada está bajo la parábola entre 0 y 1, bajo la hipérbola entre 1 y e, y sobre el eje de abscisas
Gráficas de y = x² y de y = 1/x y la recta vertical x = e; la región rayada está bajo la parábola entre 0 y 1, bajo la hipérbola entre 1 y e, y sobre el eje de abscisas
Calculamos los puntos de corte:y=x2y=1x}→x2=1x→x3=1→x=1→(1,1)\left.\begin{aligned} y &= x^2 \\ y &= \frac{1}{x} \end{aligned}\right\} \rightarrow x^2 = \frac{1}{x} \rightarrow x^3 = 1 \rightarrow x = 1 \rightarrow (1, 1)b) Hay que expresar el área como la suma de dos integrales definidas:∫01f(x) dx+∫1eg(x) dx=∫01x2 dx+∫1e1x dx=x33]01+ln⁡(x)]1e=13+1=43u2\int_0^1 f(x)\,dx + \int_1^{e} g(x)\,dx = \int_0^1 x^2\,dx + \int_1^{e} \frac{1}{x}\,dx = \left.\frac{x^3}{3}\right]_0^1 + \ln(x)\Big]_1^{e} = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}u^2Pautas de corrección:

a)
  • 0,75 p. por el esbozo de la región (0,25 por cada expresión).
  • 0,25 p. por el punto de intersección.
b)
  • 0,5 p. por expresar el área pedida con integrales definidas.
  • 0,5 p. por el cálculo de las primitivas y el resultado final.

Corrección oficial en PDF (original en catalán)

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