Matrices

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) Imponemos $M^2 - M - 2I = 0$:$$M^2 - M - 2I = \begin{pmatrix} 1 + a^2 & a \\ a & a^2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & a \\ a & 0 \end{pmatrix} - 2\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 - 2 & 0 \\ 0 & a^2 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$Los únicos valores para los que se cumple la igualdad son $a^2 - 2 = 0 \rightarrow a = \pm\sqrt{2}$.

b) Para la expresión general, operamos la igualdad del apartado a:$$M^2 - M - 2I = 0 \rightarrow M^2 - M = 2I \rightarrow M(M - I) = 2I \rightarrow M\,\frac{1}{2}(M - I) = I$$Así pues, de esta última igualdad deducimos $\boxed{M^{-1} = \tfrac{1}{2}(M - I)}$.

Para $a = \sqrt{2}$, se cumple $M^2 - M - 2I = 0$, por tanto podemos aplicar el resultado anterior:$$\boxed{M^{-1}} = \frac{1}{2}(M - I) = \frac{1}{2}\left(\begin{pmatrix} 1 & \sqrt{2} \\ \sqrt{2} & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right) = \boxed{\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & \sqrt{2} \\ \sqrt{2} & -1 \end{pmatrix}}$$Pautas de corrección:

a)

• 0,5 p. por las operaciones con las matrices.
• 0,5 p. por encontrar los dos valores del parámetro.

b)

• 0,5 p. por la expresión general de la inversa.
• 0,5 p. por dar la inversa pedida.

Observación: en caso de que el estudiante calcule directamente solo la matriz inversa sin tener en cuenta la expresión general, la puntuación del apartado b) será de 0,5 puntos.