Límites y continuidad

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) Al tratarse de una función que es cociente de dos polinomios, el dominio de esta función son todos los números reales excepto los que anulan el denominador: $1 - x = 0 \rightarrow x = 1$.

Por tanto, $\operatorname{Dom} f = \mathbb{R} - \{1\} = (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$.

La función $f$ es continua en todo su dominio, ya que es cociente de polinomios, que son funciones continuas.

El único punto donde puede presentar una asíntota vertical es en $x = 1$ y, efectivamente, lo es, ya que:$$\left.\begin{aligned} \lim_{x\to 1^-} \frac{2x^3 - 5x + 4}{1 - x} &= +\infty \\ \lim_{x\to 1^+} \frac{2x^3 - 5x + 4}{1 - x} &= -\infty \end{aligned}\right\}$$b) La función presenta una discontinuidad asintótica en $x = 1$. Podemos aplicar el teorema de Bolzano para determinar un intervalo que contenga un cero de la función, pero este intervalo no puede contener $x = 1$.

Así pues, cuando aplicamos el teorema de Bolzano al intervalo $[-2, 0]$, podemos afirmar que la función tiene un cero en el intervalo $(-2, 0)$, ya que $f(-2)\cdot f(0) < 0$, pero no lo podemos afirmar en el intervalo $(0, 2)$, ya que este intervalo contiene el punto de discontinuidad $x = 1$.

Evaluando la función en $x = -1$, tendremos el intervalo pedido:$$\left.\begin{aligned} f(-2) &= -\frac{2}{3} < 0 \\ f(-1) &= \frac{7}{2} > 0 \end{aligned}\right\} \rightarrow \text{Por tanto, aplicando el teorema de Bolzano al intervalo}$$$[-2, -1]$, el intervalo $(-2, -1)$ contiene un cero de la función.

Pautas de corrección:

a)

• 0,25 p. por el dominio.
• 0,5 p. por la continuidad.
• 0,25 p. por la asíntota.

Observación: hay que explicitar los límites laterales para determinar la asíntota.

b)

• 0,25 p. por utilizar el teorema de Bolzano.
• 0,5 p. por razonar que la función tiene un cero en un intervalo pero no en el otro.
• 0,25 p. por encontrar el intervalo de extremos dos enteros consecutivos.