Matemáticas IIFácil2 pts

Áreas, volúmenes y distancias

También trata: Rectas y planos
Cataluña · 2019 · Junio
Enunciado
Un dron se encuentra en el punto P=(2,−3,1)P = (2, -3, 1) y queremos dirigirlo en línea recta hasta el punto más próximo del plano de ecuación π:3x+4z+15=0\pi : 3x + 4z + 15 = 0.

a) Calcule la ecuación de la recta, en forma paramétrica, que debe seguir el dron. ¿Qué distancia tiene que recorrer hasta llegar al plano?

[1 punto]

b) Encuentre las coordenadas del punto del plano donde llegará el dron.

[1 punto]

Nota: puede calcular la distancia que hay de un punto de coordenadas (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0) al plano de ecuación Ax+By+Cz+D=0Ax + By + Cz + D = 0 con la expresión ∣Ax0+By0+Cz0+D∣A2+B2+C2\dfrac{\lvert Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D\rvert}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.
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Resultado
a)  r: (x,y,z)=(2+3t, −3, 1+4t), t∈R    d(P,π)=5 u  \boxed{\;r:\ (x, y, z) = (2 + 3t,\ -3,\ 1 + 4t),\ t \in \mathbb{R}\;}\qquad \boxed{\;d(P, \pi) = 5\ \text{u}\;}b)  (−1,−3,−3)  \boxed{\;(-1, -3, -3)\;}
Ver la solución oficialla corrección de la PAU, con los puntos de cada paso

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.
a) La trayectoria que debe seguir el dron es la recta que pasa por el punto P=(2,−3,1)P = (2, -3, 1) y tiene vector director perpendicular al plano π:3x+4z+15=0\pi : 3x + 4z + 15 = 0. El vector director será vr=(A,B,C)=(3,0,4)v_r = (A, B, C) = (3, 0, 4). Por tanto, en forma paramétrica:{x=2+3ty=−3z=1+4tt∈R\left\{\begin{aligned} x &= 2 + 3t \\ y &= -3 \\ z &= 1 + 4t \end{aligned}\right. \qquad t \in \mathbb{R}La distancia que debe recorrer es:d(P,π)=∣3⋅2+0⋅(−3)+4⋅1+15∣32+02+42=255=5ud(P, \pi) = \frac{\lvert 3\cdot 2 + 0\cdot(-3) + 4\cdot 1 + 15\rvert}{\sqrt{3^2 + 0^2 + 4^2}} = \frac{25}{5} = 5ub) Hay que encontrar el punto de intersección de la recta con el plano:{(x,y,z)=(2+3t,−3,1+4t)π:3x+4z+15=0  →  3(2+3t)+4(1+4t)+15=0  →  t=−1\left\{\begin{aligned} &(x, y, z) = (2 + 3t, -3, 1 + 4t) \\ &\pi : 3x + 4z + 15 = 0 \end{aligned}\right. \;\rightarrow\; 3(2 + 3t) + 4(1 + 4t) + 15 = 0 \;\rightarrow\; t = -1Así, el punto buscado es (−1,−3,−3)(-1, -3, -3).

Pautas de corrección:

a)
  • 0,25 p. por identificar el vector director de la recta.
  • 0,25 p. por dar la forma paramétrica de la recta.
  • 0,5 p. por calcular la distancia.
b)
  • 0,5 p. por plantear la intersección de la recta con el plano.
  • 0,5 p. por la resolución y por encontrar el punto pedido.

Corrección oficial en PDF (original en catalán)

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