Sistemas de ecuaciones

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) La matriz del sistema es$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 2 & -1 \\ 1 & k^2 & 3 & 2k \\ 3 & 7 & 7 & k-3 \end{array}\right)$$Igualamos el determinante de la matriz de coeficientes a cero:$$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & k^2 & 3 \\ 3 & 7 & 7 \end{vmatrix} = k^2 - 1 = 0 \;\rightarrow\; \left\{\begin{aligned} k &= 1 \\ k &= -1 \end{aligned}\right.$$Caso 1: $k \neq \pm 1$. El sistema es compatible determinado, $\det(A) \neq 0$ y, por tanto, $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(\overline{A}) = 3 =$ número de incógnitas.

Caso 2: $k = 1$$$\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \\ 3 & 7 & 7 \end{pmatrix} = 2,\ \text{ya que el menor } \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 3 = -2 \neq 0.$$$$\operatorname{rg}(\overline{A}) = \operatorname{rg}\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 3 & 2 \\ 3 & 7 & 7 & -2 \end{pmatrix} = \operatorname{rg}\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & -1 \\ 0 & 2 & -1 & -3 \\ 0 & -2 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \operatorname{rg}\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & -1 \\ 0 & 2 & -1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} = 3$$Por tanto, es un sistema incompatible, ya que $\operatorname{rg}(A) = 2 < \operatorname{rg}(\overline{A}) = 3$.

Caso 3: $k = -1$$$\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \\ 3 & 7 & 7 \end{pmatrix} = 2,\ \text{ya que el menor } \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 3 = -2 \neq 0.$$$$\operatorname{rg}(\overline{A}) = \operatorname{rg}\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 3 & -2 \\ 3 & 7 & 7 & -4 \end{pmatrix} = \operatorname{rg}\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & -1 \\ 0 & -2 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 1 & -1 \end{pmatrix} = 2$$Por tanto, es un sistema compatible indeterminado, ya que $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(\overline{A}) = 2 < 3$.

b) Si $k = -1$, el sistema de ecuaciones es compatible indeterminado con un grado de libertad, ya que tenemos 3 incógnitas y el rango de las matrices es 2. Las soluciones del sistema son:$$\left\{\begin{aligned} x + 3y + 2z &= -1 \\ x + y + 3z &= -2 \\ 3x + 7y + 7z &= -4 \end{aligned}\right. \;\rightarrow\; \left\{\begin{aligned} x + 3y + 2z &= -1 \\ x + y + 3z &= -2 \end{aligned}\right. \;\rightarrow\; \left\{\begin{aligned} x + 3y + 2z &= -1 \\ 2y - z &= 1 \end{aligned}\right. \;\rightarrow\; \left\{\begin{aligned} x &= 1 - 7t \\ y &= t \\ z &= 2t - 1 \end{aligned}\right. \quad t \in \mathbb{R}$$Pautas de corrección:

a)

• 0,25 p. por la presentación matricial del sistema o los primeros pasos para llegar a los valores críticos para la discusión.
• 0,75 p. por la discusión de los tres casos (0,25 puntos por cada caso).

b)

• 0,5 p. por la resolución del sistema.
• 0,5 p. por la formulación general de las soluciones.

Observación: el modelo de resolución es orientativo, ya que tanto en el apartado a) como en el b) se pueden utilizar métodos alternativos para la discusión y la resolución.