Optimización

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

Si llamamos $x$ a la anchura e $y$ a la altura de las páginas, el enunciado nos dice que la superficie de la página debe ser de $600\ \text{cm}^2$, es decir, que $xy = 600$.

Por tanto, podemos expresar la altura en función de la anchura, $y = \dfrac{600}{x}$.

La anchura del área impresa será, después de restar los márgenes laterales, $x-4$.

La altura del área impresa será, después de restar los márgenes superior e inferior, $y-5$.

Por tanto, la superficie que hay que maximizar es $S(x, y) = (x-4)(y-5)$.

Al sustituir la $y$ en la expresión de $S$ obtenemos la superficie solo en función de $x$:$$S(x) = (x-4)\left(\frac{600}{x} - 5\right) = 600 - 5x - \frac{2400}{x} + 20 = 620 - 5x - \frac{2400}{x}$$Para maximizar $S$ calculamos primero las dos primeras derivadas.$$S'(x) = -5 + \frac{2400}{x^2}$$$$S''(x) = -\frac{4800}{x^3}$$Los candidatos a máximo serán los puntos que anulen la derivada primera, $S'(x)$. Al hacer $S'(x) = 0$, obtenemos $5 = \dfrac{2400}{x^2}$ y, por tanto, $x = +\sqrt{\dfrac{2400}{5}} = +\sqrt{480} = 4\sqrt{30}$.

(Observamos que los valores negativos de $x$ no tienen sentido para el problema.)

Para comprobar que en $x = 4\sqrt{30}$ hay efectivamente un máximo, sustituimos el valor en la derivada segunda y tenemos $S''(4\sqrt{30}) < 0$. Por tanto, la anchura que maximiza el área impresa es $x = 4\sqrt{30} = 21{,}91\ \text{cm}$.

La altura que le corresponde será $y = \dfrac{600}{4\sqrt{30}} = \dfrac{600\cdot\sqrt{30}}{4\cdot 30} = 5\sqrt{30} = 27{,}39\ \text{cm}$.

Pautas de corrección:

• 0,25 p. por la ligadura y la expresión de $y$ en términos de $x$.
• 0,25 p. por la expresión inicial de la superficie.
• 0,25 p. por la expresión de la superficie solo en función de una variable.
• 0,25 p. por la derivada primera.
• 0,25 p. por la derivada segunda.
• 0,25 p. por el valor crítico de $x$.
• 0,25 p. por comprobar que es un máximo relativo.
• 0,25 p. por el valor crítico de $y$.

Observación: no es necesario dar la expresión decimal de $x$ y de $y$ para tener el ejercicio completamente resuelto.