Derivadas y aplicaciones

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) Para poder evaluar la función $f(x) = \frac{\ln(x)}{x}$ necesitamos poder calcular el logaritmo neperiano del numerador (eso quiere decir que $x$ sea estrictamente positiva) y poder dividir (es decir, que $x$ no sea 0). Así pues, $\boxed{\operatorname{dom}(f) = (0, +\infty)}$.

Como $x = 0$ no pertenece al dominio de la función, no hay intersección con el eje $OY$.

Como $f(x) = 0 \Longrightarrow \ln(x) = 0 \Longrightarrow x = 1$, la intersección con el eje $OX$ es $(1, 0)$.

Para los intervalos de crecimiento hay que estudiar el signo de la función derivada primera.

La función derivada es $f'(x) = \frac{1 - \ln(x)}{x^2}$.

Resolviendo $f'(x) = 0$ se obtiene como única solución $x = e$. Así pues, los intervalos de crecimiento son los siguientes:b) Empezamos calculando una primitiva de la función $f$ (es casi inmediata):$$F(x) = \int \frac{\ln(x)}{x}\,dx = \frac{\ln^2(x)}{2}$$En el intervalo $(1, e)$ la función $f$ es siempre positiva o cero. Por tanto:$$A = \int_1^e \frac{\ln(x)}{x}\,dx = \left.\frac{\ln^2(x)}{2}\right|_1^e = \frac{\ln^2(e)}{2} - \frac{\ln^2(1)}{2} = \frac{1}{2} - 0 = \boxed{\frac{1}{2}\,u^2}.$$Pautas de corrección

a)

• 0,25 p. por el dominio de la función.
• 0,25 p. por los puntos de intersección con los ejes.
• 0,25 p. por la función derivada.
• 0,25 p. por los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

b)

• 0,25 p. por el argumento de positividad o por el valor absoluto en la integral.
• 0,25 p. por el planteamiento de la integral.
• 0,25 p. por la primitiva.
• 0,25 p. por la aplicación correcta de la regla de Barrow y la sustitución final.