Matemáticas IIFácil2 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Cataluña · 2019 · Septiembre
Enunciado
Sean PP, QQ y RR los puntos de intersección del plano de ecuación x+4y+2z=4x + 4y + 2z = 4 con los tres ejes de coordenadas OXOX, OYOY y OZOZ, respectivamente.

a) (1 punto) Calcule los puntos PP, QQ y RR, y el perímetro del triángulo de vértices PP, QQ y RR.

b) (1 punto) Calcule el área del triángulo de vértices PP, QQ y RR.

Nota: Para calcular el área del triángulo definido por los vectores v\mathbf{v} y w\mathbf{w} puede usar la expresión S=12∥v×w∥S = \dfrac{1}{2}\left\|\mathbf{v} \times \mathbf{w}\right\|, donde v×w\mathbf{v} \times \mathbf{w} es el producto vectorial de los vectores v\mathbf{v} y w\mathbf{w}.
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Resultado
  P=(4,0,0),Q=(0,1,0),R=(0,0,2)  \boxed{\;P = (4,0,0),\quad Q = (0,1,0),\quad R = (0,0,2)\;}  Perıˊmetro=17+35≅10,83 u    S=21≅4,58 u2  \boxed{\;\text{Perímetro} = \sqrt{17} + 3\sqrt{5} \cong 10{,}83\ u\;}\qquad \boxed{\;S = \sqrt{21} \cong 4{,}58\ u^2\;}
Ver la solución oficialla corrección de la PAU, con los puntos de cada paso

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.
a)

Eje OXOX: x=?, y=0, z=0⟹x=4⟹P=(4,0,0)x = {?},\ y = 0,\ z = 0 \Longrightarrow x = 4 \Longrightarrow \boxed{P = (4,0,0)}

Eje OYOY: y=?, x=0, z=0⟹4y=4⟹y=1⟹Q=(0,1,0)y = {?},\ x = 0,\ z = 0 \Longrightarrow 4y = 4 \Longrightarrow y = 1 \Longrightarrow \boxed{Q = (0,1,0)}

Eje OZOZ: z=?, x=0, y=0⟹2z=4⟹z=2⟹R=(0,0,2)z = {?},\ x = 0,\ y = 0 \Longrightarrow 2z = 4 \Longrightarrow z = 2 \Longrightarrow \boxed{R = (0,0,2)}

El perímetro será∥PQ→∥+∥PR→∥+∥QR→∥=∥(−4,1,0)∥+∥(−4,0,2)∥+∥(0,−1,2)∥=\left\|\overrightarrow{PQ}\right\| + \left\|\overrightarrow{PR}\right\| + \left\|\overrightarrow{QR}\right\| = \left\|(-4,1,0)\right\| + \left\|(-4,0,2)\right\| + \left\|(0,-1,2)\right\| ==(−4)2+12+0+(−4)2+0+22+0+(−1)2+22== \sqrt{(-4)^2 + 1^2 + 0} + \sqrt{(-4)^2 + 0 + 2^2} + \sqrt{0 + (-1)^2 + 2^2} ==17+20+5=17+25+5=17+35≅10,83 u.= \boxed{\sqrt{17} + \sqrt{20} + \sqrt{5} = \sqrt{17} + 2\sqrt{5} + \sqrt{5} = \sqrt{17} + 3\sqrt{5} \cong 10{,}83\ u}.b) Si aplicamos la expresión de la fórmula, obtenemos la igualdad siguiente:S=12∥PQ→×PR→∥.S = \frac{1}{2}\left\|\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR}\right\|.Calculamos el producto vectorial PQ→×PR→\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR}:PQ→×PR→=∣i−4−4j10k02∣=(2,8,4).\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR} = \begin{vmatrix} i & -4 & -4 \\ j & 1 & 0 \\ k & 0 & 2 \end{vmatrix} = (2,8,4).Por tanto,S=12∥PQ→×PR→∥=1222+82+42=124+64+16=1284=2221=21≅4,58 u2.S = \frac{1}{2}\left\|\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR}\right\| = \frac{1}{2}\sqrt{2^2 + 8^2 + 4^2} = \frac{1}{2}\sqrt{4 + 64 + 16} = \frac{1}{2}\sqrt{84} = \frac{2}{2}\sqrt{21} = \boxed{\sqrt{21} \cong 4{,}58\ u^2.}Pautas de corrección

a)
  • 0,25 p. por el cálculo de los puntos PP, QQ y RR.
  • 0,25 p. por el cálculo de los vectores.
  • 0,25 p. por el cálculo de las normas.
  • 0,25 p. por la expresión final (con radicales o aproximada).
b)
  • 0,5 p. por el cálculo del producto vectorial.
  • 0,5 p. por el cálculo de la norma y la expresión final (con radical o aproximada).

Corrección oficial en PDF (original en catalán)

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